单位正方形内随机均匀分布N个点，求最近两点的距离的期望值。

hawkzmy · 发表于 2024-6-11 16:47:50

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aimisiyou · 发表于 2024-6-11 18:45:30

“随机均匀”是怎么定义的？

KeyTo9_Fans · 发表于 2024-6-11 18:55:36

N=2的解答如下：

KeyTo9_Fans · 发表于 2024-6-12 09:01:48

用蒙特卡罗方法运行了一晚上，可以得到如下表所示的数据：

根据表中数据，当N很大的时候，N个点最小距离的期望值大约是1/(sqrt(2)*(N-2)+2)

程序还在继续运行中，我打算运行1个月后再查看最新结果

#####

1个月的时间到了，最新结果在第12楼

wayne · 发表于 2024-6-12 09:43:01

其实是老题目了, 不过改编的是最小距离的期望, 如果是平均距离的期望,那也是有解答的.
https://math.stackexchange.com/q ... square-without-calc
https://mathworld.wolfram.com/SquareLinePicking.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Me ... uare_and_rectangles
我先无脑开满多线程蒙特卡洛模拟一波. 5秒钟模拟$10^7$次.
$2$个点的,是$0.521489$,

pool=ParallelTable[Min[EuclideanDistance@@@Subsets[RandomPoint[Rectangle[],2],{2}]],10^7];Mean[pool]

复制代码

$3$个点的,是$0.305585$

pool=ParallelTable[Min[EuclideanDistance@@@Subsets[RandomPoint[Rectangle[],3],{2}]],10^7];Mean[pool]

复制代码

$4$个点的,是$0.211727$
跟fans的基本相同,
那我就干脆略了...

wayne · 发表于 2024-6-13 19:48:45

rust 30行代码。

use std::time::SystemTime;
use rand::Rng;
fn main() {
let epoch = SystemTime::now();
let mut rng = rand::thread_rng();
for len in 2..=20{
let mut pool = vec![0f64; 2*len];
let mut sol = 0f64;
for n in 1..=1000000 {
for i in 0..2*len{
pool[i] = rng.gen::<f64>();
}
let mut tmp = std::f64::MAX;
for i in 0..len{
for j in i+1..len{
let dx = pool[2*i]-pool[2*j];
let dy = pool[2*i+1]-pool[2*j+1];
let d = (dx*dx+dy*dy).sqrt();
if d<tmp{
tmp = d;
}
}
}
sol += (tmp-sol)/(n as f64);
}
println!("{:?}\t{:>2}: {:>}",SystemTime::now().duration_since(epoch).unwrap(), len,sol);
}
}

复制代码

复制代码

hawkzmy · 发表于 2024-6-14 11:07:23

本帖最后由 hawkzmy 于 2024-6-14 11:18 编辑

最小距离的期望值，不是平均距离。

hawkzmy · 发表于 2024-6-14 11:10:44

本帖最后由 hawkzmy 于 2024-6-14 11:21 编辑

有没有解析解？

hawkzmy · 发表于 2024-6-14 11:13:54

aimisiyou 发表于 2024-6-11 18:45
“随机均匀”是怎么定义的？

均匀分布就是：不是泊松分布、不是正态分布等等，是均匀的分布，平均每个地方的点一样多。

hawkzmy · 发表于 2024-6-14 16:27:47

KeyTo9_Fans 发表于 2024-6-12 09:01
用蒙特卡罗方法运行了一晚上，可以得到如下表所示的数据：

根据表中数据，当N很大的时候，N个点最小距离的 ...

这是经验公式还是计算结果？

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