用数字1、2、3组成一个六位数

myyour

用数字1、2、3组成一个六位数（不一定3个数字都用完），且数字1不能相邻的排法有多少种?

aimisiyou

先安排k个2, 3, 共是2^k种，然后在其k+1个缝隙中（两端也视为缝隙）插入剩下的6-k个1.
缝隙要不少于插板的数量，才能保证没有2个板子插到1个缝隙中，所以k≥5/2, 取整得k≥3.
在k+1个缝隙中选择 6-k个插入板子，是组合数C(k+1,6-k).
2,3 的安排与1的插入是相互独立的，按乘法原理交叉排列数为2^k·C(k+1,6-k).

2^6+2^5*C(6,1)+2^4*C(5,2)+2^3*C(4,3)=448

northwolves

全排列：3^6
两个1相邻情况：
2个1：C(5,1)*2^4=80
3个1：C(5,3)*2^3*C(2,1)=160
4个1：C(5,2)*2^2=40
5个1：C(5,1)*2=10
6个1：1
总计：3^6-80-160-40-10-1=448

mathe

可以计算使用h个1的数字的方案，由于除了最后一个位置，1后面必须再安排一个数，我们可以考虑每个1会同时占用自己和后面一个位置，那么需要在最后再添加一个位置，于是挑选1的方案为$C_{7-h}^h$中方案，余下还有6-h个位置任意安排2和3，所以总共$2^{6-h}C_{7-h}^h$
最后累计就是$\sum_{h=0}^3 2^{6-h}C_{7-h}^h=448$