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[求助] 用数字1、2、3组成一个六位数

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发表于 2024-7-1 21:52:24 | 显示全部楼层 |阅读模式

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用数字1、2、3组成一个六位数(不一定3个数字都用完),且数字1不能相邻的排法有多少种?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-7-1 23:25:03 | 显示全部楼层

用插板法

先安排k个2, 3, 共是2^k种,然后在其k+1个缝隙中(两端也视为缝隙)插入剩下的6-k个1.
缝隙要不少于插板的数量,才能保证没有2个板子插到1个缝隙中,所以k≥5/2, 取整得k≥3.
在k+1个缝隙中选择 6-k个插入板子,是组合数C(k+1,6-k).
2,3 的安排与1的插入是相互独立的,按乘法原理交叉排列数为2^k·C(k+1,6-k).

2^6+2^5*C(6,1)+2^4*C(5,2)+2^3*C(4,3)=448

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太好了,这个解释令我茅塞顿开,谢谢老师!  发表于 5 天前
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发表于 2024-7-2 22:59:52 | 显示全部楼层
全排列:3^6
两个1相邻情况:
2个1:C(5,1)*2^4=80
3个1:C(5,3)*2^3*C(2,1)=160
4个1:C(5,2)*2^2=40
5个1:C(5,1)*2=10
6个1:1
总计:3^6-80-160-40-10-1=448


点评

谢谢老师,答案就是这个,我不知怎么求出。  发表于 2024-7-3 15:59
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发表于 2024-7-4 10:00:04 | 显示全部楼层
可以计算使用h个1的数字的方案,由于除了最后一个位置,1后面必须再安排一个数,我们可以考虑每个1会同时占用自己和后面一个位置,那么需要在最后再添加一个位置,于是挑选1的方案为$C_{7-h}^h$中方案,余下还有6-h个位置任意安排2和3,所以总共$2^{6-h}C_{7-h}^h$
最后累计就是$\sum_{h=0}^3 2^{6-h}C_{7-h}^h=448$

点评

这方法好高端,佩服!!!  发表于 2024-7-4 15:51

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