两个代数数满足的最小有理系数多项式

lsr314

对于给定的代数数a，可以用MinimalPolynomial[]函数来求出其最小多项式。
给定两个代数数a,b，如何求次数最小的有理系数多项式f(x,y)满足f(a,b)=0？

比如$a=1+2^(1/4),b=1-2^(1/4)$时，可以取f(x,y)=x+y-2,次数为1。
如果a,b是方程$x^7+3x+1=0$的一对共轭根，那么f的次数最小是多少呢？

wayne

1. sol=RootReduce[SolveValues[x^7+3x+1==0,x]];
   
2. MinimalPolynomial[RootReduce[Re[sol[[2]]]],x]

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感觉 只能具体问题具体讨论. 对于本题, 就是 $(x+y I)^7+3(x+y I)+1$进行复数展开,虚部实部分别为0,消元得到的最小多项式.

lihpb00

代数数是有理数的扩张，但如果反过来，超越数可以不可以继续往下细分

lsr314

wayne 发表于 2024-7-2 19:46
感觉 只能具体问题具体讨论. 对于本题, 就是 $(x+y I)^7+3(x+y I)+1$进行复数展开,虚部实部分别为0,消元得 ...

我们的目标是找一个二元多项式。
如果a,b是g(x)=0的根，那么f(a,b)=(g(a)-g(b))/(a-b)=0，f(x,y)的次数比g(x)小1。
目的是找到次数比deg(g)-1更小的二元多项式