找回密码
 欢迎注册
查看: 252|回复: 3

[提问] 两个代数数满足的最小有理系数多项式

[复制链接]
发表于 2024-7-2 16:07:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?欢迎注册

×
对于给定的代数数a,可以用MinimalPolynomial[]函数来求出其最小多项式。
给定两个代数数a,b,如何求次数最小的有理系数多项式f(x,y)满足f(a,b)=0?

比如$a=1+2^(1/4),b=1-2^(1/4)$时,可以取f(x,y)=x+y-2,次数为1。
如果a,b是方程$x^7+3x+1=0$的一对共轭根,那么f的次数最小是多少呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-7-2 19:46:26 | 显示全部楼层
  1. sol=RootReduce[SolveValues[x^7+3x+1==0,x]];
  2. MinimalPolynomial[RootReduce[Re[sol[[2]]]],x]
复制代码

感觉 只能具体问题具体讨论. 对于本题, 就是 $(x+y I)^7+3(x+y I)+1$进行复数展开,虚部实部分别为0,消元得到的最小多项式.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-7-3 08:53:26 | 显示全部楼层
代数数是有理数的扩张,但如果反过来,超越数可以不可以继续往下细分
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-7-3 15:20:44 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2024-7-2 19:46
感觉 只能具体问题具体讨论. 对于本题, 就是 $(x+y I)^7+3(x+y I)+1$进行复数展开,虚部实部分别为0,消元得 ...

我们的目标是找一个二元多项式。
如果a,b是g(x)=0的根,那么f(a,b)=(g(a)-g(b))/(a-b)=0,f(x,y)的次数比g(x)小1。
目的是找到次数比deg(g)-1更小的二元多项式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-7-24 14:58 , Processed in 0.043411 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表