an=(1/2)^n的级数有什么重要意义？

霜晨

小的初来乍到，是一名高中生。学习中总觉得\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} =1-\frac{1}{2^n}  \)有着非凡的意义。
请问作为数列\(a_{n}=(\frac{1}{2} )^{n}\) 出现时,它的级数极限是否是所有用初等函数表示成的单调数列中级数能够从下部收敛于1的最大级数？
用数学表示的话，就是：
是否存在一不为0的单调数列\(b_{n}\)(\(b_{n}\)只能是不分段的初等函数型表示)，使得\(\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}b_{i} ≤1，且\sum_{i=1}^{n}b_{i}>\sum_{i=1}^{n}a_{i} \)?
表述上十分啰嗦，可能意义不是很大，希望大家可以给予一些点拨，和其他相关拓展。谢谢！

lihpb00

从下部收敛于1的最大级数并不存在

霜晨

lihpb00 发表于 2024-10-2 15:39
从下部收敛于1的最大级数并不存在

请问这句话应该怎么理解呢？

霜晨

修改一下：
是否存在一单调数列\(b_{n} \)(\(b_{n}只能是用不分段初等函数表示)，使得{\textstyle \sum_{n=1}^{\infty }} b_{n}≤1\)  ，且对于\(\forall i\in N^{*} \),都有 \(b_{i}＞a_{i}\) ?