一元三次方程的有三个实数根的概率

pizza49

一元三次实系数方程，其系数均[0,1]上均匀分布且相互独立，该方程有三个实数根的概率？

mathe

我算了一下，三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个实数根的条件应该是$27*d^2*a^2 + (-18*d*c*b + 4*c^3)*a + (4*d*b^3 - c^2*b^2)<0$
在系数都在(0,1)时，模拟了一下，概率大概为0.0186

pizza49

mathe 发表于 2024-11-7 14:40
我算了一下，三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个实数根的条件应该是$27*d^2*a^2 + (-18*d*c*b + 4*c^3)*a +  ...

$a^4(r_{1}-r_{2})^2(r_{2}-r_{3})^2(r_{3}-r_{1})^2\ge 0$其中$r_{1},r_{2},r_{3}$都是三次方程的根