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[求助] 一元三次方程的有三个实数根的概率

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发表于 2024-11-3 19:42:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一元三次实系数方程,其系数均[0,1]上均匀分布且相互独立,该方程有三个实数根的概率?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-7 14:40:32 | 显示全部楼层
我算了一下,三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个实数根的条件应该是$27*d^2*a^2 + (-18*d*c*b + 4*c^3)*a + (4*d*b^3 - c^2*b^2)<0$
在系数都在(0,1)时,模拟了一下,概率大概为0.0186

点评

不明觉厉!  发表于 2024-11-7 17:28
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-8 07:05:55 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-11-7 14:40
我算了一下,三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$有三个实数根的条件应该是$27*d^2*a^2 + (-18*d*c*b + 4*c^3)*a +  ...

$a^4(r_{1}-r_{2})^2(r_{2}-r_{3})^2(r_{3}-r_{1})^2\ge 0$其中$r_{1},r_{2},r_{3}$都是三次方程的根

点评

三次方程若有重根,一定只有实根  发表于 2024-11-8 07:07
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