求周长为2025各边为不同整数的五边梯形的最大面积

王守恩

mathe 发表于 2025-1-11 11:08
应该称为n边超梯形，所以我们有
【超梯形等周定理】周长给定的2n+1边超梯形面积最大时当且仅当在图形正 ...

五边超梯形,  周长=5, 面积最大=1.6746824526945169155,
七边超梯形,  周长=7, 面积最大= 3.6147368526820815854,
九边超梯形,  周长=9, 面积最大= 6.1710472958561149387,
十一边超梯形, 周长=11, 面积最大=9.3586794421816583607,
十三边超梯形, 周长=13, 面积最大=13.180884418723286285,
十五边超梯形, 周长=15, 面积最大=17.638740201252304719,
十七边超梯形, 周长=17, 面积最大=22.732694783085890964,
十九边超梯形, 周长=19, 面积最大=28.462963126911506412,

1. Table[N[(2 n + 1)^2/(4 (n + 1) Tan[Pi/(2 n + 2)] + 4 n Tan[Pi/(2 n)])], {n, 2, 37}]

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取整得到这样一串数。1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 28, 34, 41, 49, 57, 66, 76, 86, 97, 108, 120, 133, 146, 160, 175, 190, 206, 223, 240, 258, 276, 295, 315, 335, 356, 378, 400, 423, 447}

hujunhua

mathe 发表于 2025-1-11 11:08
应该称为n边超梯形，所以我们有
【超梯形等周定理】周长给定的2n+1边超梯形面积最大时当且仅当在图形正 ...

所谓的`2n+1`边超梯形符合下述定义：
1、是一个凸多边形$A_1A_2 ... A_{2n+1} $（逆时针方向）
2、它的底边为` A_{2n+1}A_1`，顶边为`A_nA_{n+1}`，这两边平行（水平方向）.

下面的引理有助于理解、领略超梯形等周定理。
【引理1】凸多边形$A_1A_2 ... A_m$符合以下约定：
1、$A_1A_2+A_2A_3+...+A_{m-1}A_m=C$（给定长度），剩下一边`A_mA_1`长度不限（自由边）。
2、$A_1A_2∥A_{m-1}A_m$
那么当多边形的面积最大时必是一个正2m-2边形的一半，分割线即自由边。

这个引理还是比较容易理解的，将这个凸多边形旋转180°，然后在那条自由边将原多边形与旋转像拼接，得到一个周长2C的双倍多边形，它的面积最大时为一个正2n-2边形。
自由边与平行边法线的夹角以下称为倾角。最大区域的形状不唯一，因为倾角可取$0~π/(m-1)$内的任意值。

面积最大的那个超梯形记为`Ω`, 为了理解超梯形等周定理，我们接受以下假设：
可将底边` A_{2n+1}A_1`和顶边`A_nA_{n+1}`剪断，使`Ω`的周长被按比例$(C_{2n+2}:C_{2n})$分为两段折线。这里`C_\#=\#\tan\frac{π}{\#}`, 为外切于单位圆的正$#$边形的半周长.

按上述假设分割周长后，将两个分割点连结一条线段，使 `Ω` 被分为左右两部分。解除左右两边之间的牵制，让它们各自朝着面积最大演变，那么按引理1，两边都会形成正多边形的一半。
由于左右两边的半正多边形所对应的完整正多边形具有相同大小的内切圆，故可以选择相同的倾角拼接成符合定义的2n+1边超梯形，这就是2n+1边超梯形面积的上界。

hujunhua

上楼的引理1也可以改为下面的形式：
【引理1a】以一条给定长度的包含m条线段的简单折线Z靠直线 y 围出一块平面区域A，要求Z两端（的线段）垂直于 y。当A的面积达到最大时必是一个正2m-2边形的一半。


使用引理1a来理解超梯形等周定理时，把`Ω`分成左右两部分的分界线是垂直相交于两条平行边的，这就需要假定两条平行边的位置不能错开太多。

王守恩

2n+1 边超梯形, 周长 = 2n+1, 面积最大取整得到这样一串数——OEIS没有这串数！
1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 28, 34, 41, 49, 57, 66, 76, 86, 97, 108, 120, 133, 146, 160, 175, 190, 206, 223, 240, 258, 276, 295, 315, 335, 356, 378, 400, 423, 447, 471, 496, 521, 547, 574, 602, 630, 658, 688, 717, 748, 779, 811, 843, 877, 910, 945,

粗糙一点, 可以这样。Table[Floor[(2 n + 1)^2/(4 Pi)], {n, 2, 59}]
1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 28, 35, 42, 49, 58, 66, 76, 86, 97, 108, 121, 133, 147, 161, 175, 191, 206, 223, 240, 258, 277, 296, 315, 336, 357, 378, 401, 424, 447, 471, 496, 522, 548, 574, 602, 630, 658, 688, 718, 748, 779, 811, 844, 877, 911, 945,

精细一点, 可以这样。Table[Floor[((2 n + 1)^2 - Pi)/(4 Pi)], {n, 2, 59}]
1, 3, 6, 9, 13, 17, 22, 28, 34, 41, 49, 57, 66, 76, 86, 97, 108, 120, 133, 146, 160, 175, 190, 206, 223, 240, 258, 276, 295, 315, 335, 356, 378, 400, 423, 447, 471, 496, 521, 547, 574, 602, 630, 658, 688, 717, 748, 779, 811, 843, 877, 910, 945,

再精细一点, 可以这样。......来不了！

王守恩

出道题。五边超梯形, 5边 = 135 + 246 + 471 + 531 + 642 = 2025。

1, 5边 = {135, 246, 471, 531, 642} = {上底, 左腰, 下底, 右腰下, 右腰上}
    求最大面积。是否可以有类似一元二次方程求解公式那样的公式？

2, 5边 = {135, 246, 471, 531, 642}。最大面积 = ？

3, 5边 = {135, 246, 471, 531, 642}。可以有 ？个五边超梯形。

王守恩

mathe 发表于 2025-1-11 11:08
应该称为n边超梯形，所以我们有
【超梯形等周定理】周长给定的2n+1边超梯形面积最大时当且仅当在图形正好 ...

【超梯形等周定理】周长给定的2n+1边超梯形面积最大时当且仅当在图形正好为两个等内切圆半径的半个正2n+2边形和半个正2n边形拼接而成。
周长 = 2n + 1, 2n + 1 边超梯形, 面积最大是这样一串数。
Table[N[(2n + 1)^2/(4(n + 1) Tan[Pi/(2n + 2)] + 4n Tan[Pi/(2n)]), n], {n, 2, 37}]
{1.7, 3.61, 6.171, 9.3587, 13.1809, 17.63874, 22.732695, 28.4629631, 34.82965933, 41.832848713, 49.4725708963, 57.74885110258, 66.661706008749, 76.2111470081994, 86.39718210275449, 97.219817047739403, 108.679056069514154}
粗糙一点, 可以这样。
Table[N[(2n + 1)^2/(4 Pi), n], {n, 2, 18}]
{2.0, 3.90, 6.446, 9.6289, 13.4486, 17.90493, 22.997889, 28.7274672, 35.09366495, 42.096482448, 49.7359197162, 58.01197675700, 66.924653570142, 76.4739501556557, 86.65986651353701, 97.482402643785893, 108.941558546402357}

两者相减(n=无穷大)————0.26179938779914943653...,   是一个超越数？