求周长为2025各边为不同整数的五边梯形的最大面积

王守恩

五边梯形指有两条非邻边相平行的凸五边形。

对于一般五边形，答案无疑是边长为403、404、405、406、407的圆内接五边形，但是五边梯形不然。

倪举鹏

先考虑“周长为2025的五边梯形的最大面积”，在此基础上进行调整。

由于驻点的对称性，答案可以分割成一个矩形和一个等腰三角形。





2025已经足够大，整数解的不同整数边的一二差别对形状影响甚小，应该非常逼近这个实数解。

northwolves

{{上, 下, 左, 右上, 右下}, S, N@S}
最大的三个五边梯形：
\[
\begin{array}{ccc}
  \{427,428,543,313,314\} & \frac{855}4 \sqrt{1179395}+12 \sqrt{12577110} & 274689. \\
  \{428,429,542,312,314\} & \frac{16283}4 \sqrt{3255}+144 \sqrt{86870} & 274689. \\
  \{428,430,542,312,313\} & 429 \sqrt{293763}+\frac34 \sqrt{3161575327} & 274689. \\
\end{array}
\]

王守恩

northwolves 发表于 2025-1-8 16:54
{{上, 下, 左, 右上, 右下}, S,N@S}
最大的三个五边形：

第1个最大。
具体形状如2#的图示，上底427，下底428，左腰543，两底右端连线的长也是543。右腰两边313和314可互换，故有两解。

2#的解，3个 内角为120°应该不是巧合，也许可以找到某种解释，并导致简明的解。

五边梯形的顶点不共圆，也是有点费解。

northwolves

借2楼的图

$y≈(1/2-\sqrt{3}/6\right) n$
$z≈\left(2/3\sqrt3-1\right) n$
$x≈(2-\sqrt3)n $
$S_{max}≈\frac{ \left(2-\sqrt{3}\right) n^2}{4} $

hujunhua

根据楼上的公式，2#的实数解图形有内切圆。
可见它是由半个正方形与半个正六边形拼接成的，合了等式$5=(4+6)/2$.

哈哈，好奇怪呀，不是外接圆，而是内切圆。

hujunhua

那么，面积最大的七边梯形是不是半个正六边形与半个正八边形拼成的？

王守恩

hujunhua 发表于 2025-1-9 18:17
那么，面积最大的七边梯形是不是半个正六边形与半个正八边形拼成的？

接7楼。面积最大的七边梯形(不等边)。
{上, 左上, 左中, 左下, 下,  右下, 右上}={334,236,234,235,335,325,326}=301935。
正七边形面积=304108。

王守恩

hujunhua 发表于 2025-1-9 18:17
那么，面积最大的七边梯形是不是半个正六边形与半个正八边形拼成的？

接7楼。畅想一下。

面积最大的四边梯形。{左, 右}={1, 1}
面积最大的五边梯形。{左, 右}={1, 2}
面积最大的六边梯形。{左, 右}={2, 2}
面积最大的七边梯形。{左, 右}={2, 3}
面积最大的八边梯形。{左, 右}={3, 3}
面积最大的九边梯形。{左, 右}={3, 4}
面积最大的十边梯形。{左, 右}={4, 4}

好像只能是这个模样？

mathe

hujunhua 发表于 2025-1-9 18:17
那么，面积最大的七边梯形是不是半个正六边形与半个正八边形拼成的？

应该称为n边超梯形，所以我们有
【超梯形等周定理】周长给定的2n+1边超梯形面积最大时当且仅当在图形正好为两个等内切圆半径的半个正2n+2边形和半个正2n边形拼接而成。