三角形的等腰线等长点

iseemu2009

等腰三角形的底边叫做其顶角的一条等腰线（isoscelizer）。
试证明：△ABC 内存在一点 X 使得三个内角的过X的等腰线长度相等，该点称为△ABC的等腰线等长点。
记△ABC的三边长度为a,b,c, 三个内角为∠A=2α，∠B=2β，∠C=2γ，试求：
1、等腰线等长点的等腰线长度。
2：等腰线等长点的重心坐标。

等腰等长点

hujunhua

设`DE=FG=HI=l`, 那么 $BF=l/2csc β,IC=l/2csc γ, IF=BF+IC-a=l/2csc β+l/2csc γ-a$
同理，$DG=l/2cscα+l/2cscβ-c,EH=l/2cscγ+l/2cscα-b$
$IX=IF(sin∠2)/(sin∠1)=(l/2csc β+l/2csc γ-a)cosβ/cosα$
$XH=EH(sin∠1)/(sin∠2)=(l/2csc γ+l/2csc α-b)cosα/cosβ$
$IX+XH=HI→(l/2csc β+l/2csc γ-a)cosβ/cosα+(l/2csc γ+l/2csc α-b)cosα/cosβ=l$
这就可以得到 `l` 的一个表达式了，不过要化成对称形式可能有点麻烦。
把从其它两条等腰线得到的轮换等式也写出来，加一起能得到轮换对称表达式，但没试过化简。

hujunhua

用上述结果计算了一下在（6，9，13）三角形中的坐标，在ETC网站查到这个点是 X(173) = CONGRUENT ISOSCELIZERS POINT.

△ABC的内切圆与各边切点构成的三角形记作 Intriangle(△ABC)。△ABC与Intriangle(Intriangle(△ABC))是中心透视的，透视中心就是X(173).

iseemu2009

$DE=FG=HI=(a+b+c)/(cosα·cotα+cosβ·cotβ+cosγ·cotγ)$

wayne

$DE=FG=HI=(a+b+c)/(cosα·cotα+cosβ·cotβ+cosγ·cotγ) = \frac{2 r (\cos (\alpha )+\cos (\beta )+\cos (\gamma ))}{\sin ^2(\alpha )+\sin (\alpha )+\sin ^2(\beta )+\sin (\beta )+\sin ^2(\gamma )+\sin (\gamma )}$