三角形的等腰线等长点

iseemu2009

等腰三角形的底边叫做其顶角的一条等腰线（isoscelizer）。
试证明：△ABC 内存在一点 X 使得三个内角的过X的等腰线长度相等，该点称为△ABC的等腰线等长点。
记△ABC的三边长度为a,b,c, 三个内角为∠A=2α，∠B=2β，∠C=2γ，试求：
1、等腰线等长点的等腰线长度。
2、等腰线等长点的重心坐标。

等腰等长点

hujunhua

设`DE=FG=HI=l`, 那么 $BF=l/2csc β,IC=l/2csc γ, IF=BF+IC-a=l/2csc β+l/2csc γ-a$
同理，$DG=l/2cscα+l/2cscβ-c,EH=l/2cscγ+l/2cscα-b$
$IX=IF(sin∠2)/(sin∠1)=(l/2csc β+l/2csc γ-a)cosβ/cosα$
$XH=EH(sin∠1)/(sin∠2)=(l/2csc γ+l/2csc α-b)cosα/cosβ$
$IX+XH=HI→(l/2csc β+l/2csc γ-a)cosβ/cosα+(l/2csc γ+l/2csc α-b)cosα/cosβ=l$
这就可以得到 `l` 的一个表达式了，不过要化成对称形式可能有点麻烦。
把从其它两条等腰线得到的轮换等式也写出来，加一起能得到轮换对称表达式，但没试过化简。

hujunhua

用上述结果计算了一下在（6，9，13）三角形中的坐标，在ETC网站查到这个点是 X(173) = CONGRUENT ISOSCELIZERS POINT.

△ABC的内切圆与各边切点构成的三角形记作 Intriangle(△ABC)。△ABC与Intriangle(Intriangle(△ABC))是中心透视的，透视中心就是X(173).

iseemu2009

$DE=FG=HI=(a+b+c)/(cosα·cotα+cosβ·cotβ+cosγ·cotγ)$

wayne

$DE=FG=HI=(a+b+c)/(cosα·cotα+cosβ·cotβ+cosγ·cotγ) = \frac{2 r (\cos (\alpha )+\cos (\beta )+\cos (\gamma ))}{\sin ^2(\alpha )+\sin (\alpha )+\sin ^2(\beta )+\sin (\beta )+\sin ^2(\gamma )+\sin (\gamma )}$

hejoseph

设公共点是 \(P\)，点 \(P\) 到 \(BC\)、\(CA\)、\(AB\) 的距离分别为 \(d_A\)、\(d_B\)、\(d_C\)，那么
\[
DE=\frac{d_B}{\cos\angle AED}+\frac{d_C}{\cos\angle ADE}=\frac{d_B+d_C}{\cos\alpha}，
\]
设点 \(P\) 的重心坐标为 \(t:u:v\)，为了下面的计算简化，规定 \(t+u+v=1\)，再设 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(S\)，则
\[
DE=\frac{2uS/b+2vS/c}{\cos\alpha}=\frac{2S}{\cos\alpha}\left(\frac{u}{b}+\frac{v}{c}\right)，
\]
同理可得
\[
FG=\frac{2S}{\cos\beta}\left(\frac{t}{a}+\frac{v}{c}\right)，HI=\frac{2S}{\cos\gamma}\left(\frac{t}{a}+\frac{u}{b}\right)，
\]
由 \(DE\)、\(FG\)、\(HI\) 的表达式解出 \(t\)、\(u\)、\(v\) 得
\begin{align*}
t&=\frac{a(-DE\cos\alpha+FG\cos\beta+HI\cos\gamma)}{4S}\\
u&=\frac{b(DE\cos\alpha-FG\cos\beta+HI\cos\gamma)}{4S}\\
v&=\frac{c(DE\cos\alpha+FG\cos\beta-HI\cos\gamma)}{4S}
\end{align*}
前面得到的式子就可以得到这些结果：已知点 \(P\) 的重心坐标求 \(DE\)、\(FG\)、\(HI\) 以及 已知 \(DE\)、\(FG\)、\(HI\) 长度比求点 \(P\) 的重心坐标。

若 \(DE=FG=HI=l\)，则
\begin{align*}
t&=\frac{al(-\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)}{4S}\\
u&=\frac{bl(\cos\alpha-\cos\beta+\cos\gamma)}{4S}\\
v&=\frac{cl(\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma)}{4S}
\end{align*}
上式也得到点 \(P\) 的重心坐标为 \(a(-\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma):b(\cos\alpha-\cos\beta+\cos\gamma):c(\cos\alpha+\cos\beta-\cos\gamma)\)，上面三式相加即得
\[
\frac{l((p-a)\cos\alpha+(p-b)\cos\beta+(p-c)\cos\gamma)}{2S}=1
\]
这里 \(p\) 是 \(\triangle ABC\) 的半周长，这样就求得
\[
l=\frac{2S}{(p-a)\cos\alpha+(p-b)\cos\beta+(p-c)\cos\gamma}
\]