求正整数解35x^2+y^3=z^3

wayne

求正整数解, $35x^2+y^3=z^3$

nyy

我只会穷举法！

mathe

比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求

数论爱好者

mathe 发表于 2025-2-27 21:32
比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求

与此类似的问题：https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此，这样的解可能存在，并且当y=5m³，x=5m²，z=2y=10m³时，代入原方程：
35x² +y³=35*(5m²)^2 + (5m³)^3=35*25m^4 +125m^9=875m^4 +125m^9
而z³=(10m³)^3=1000m^9，显然只有当875m^4 +125m^9=1000m^9 →875m^4=875m^9 →m^4(1 -m^5)=0，只有当m=1时成立，因此这是一个特殊的解，即当m=1时，y=5*1=5，x=5*1=5，z=10*1=10，代入原方程：
35*25 +125=875 +125=1000=10³，确实成立。所以这又是一个解：x=5，y=5，z=10。
这与我之前找到的x=40，y=20，z=40不同，说明可能存在多个解。
刚才我可能漏掉了这个解，因为之前的尝试中可能没有试到这样的值。
让我再检查一下这个解：
当y=5，z=10，x=5：
35*(5)^2 +5³=35*25 +125=875 +125=1000=10³，确实正确。所以这也是一个解。
看来存在至少两个解：x=5，y=5，z=10，以及x=40，y=20，z=40，可能还有更多。
这说明原方程存在无穷多解，可以通过参数化的方法得到。例如，当设z=2y时，方程变为35x²=7y³，即5x²=y³，因此y必须是5乘以一个立方数，x是5乘以一个平方数。设y=5k³，那么x=5k²，这样代入方程得到：
35*(5k²)^2 + (5k³)^3 =35*25k^4 +125k^9=875k^4 +125k^9=125k^9 +875k^4
而z=2y=10k³，z³=1000k^9，因此需要满足125k^9 +875k^4=1000k^9，即875k^4=875k^9，即k^4= k^9，解得k=0或k=1。k=0不符合正整数解，所以k=1，得到y=5，x=5，z=10，这是唯一的一个解在这种情况下。
因此，这种情况下只能得到一个解。而之前的另一个解x=40，y=20，z=40，是否属于另一种参数化的情况呢？
例如，当z=2y时，我们得到的是x=5，y=5，z=10，而当y=20，z=40时，同样满足z=2y，所以应该同样适用，但根据上面的推导，当y=20=5k³，解得k³=4，k不是整数，因此这个解可能不属于这个参数化系列，说明还有其他的解存在。
因此，可能需要另一个参数化的方法。
回到之前找到的解x=40，y=20，z=40，这里z=40=2*20=2y，所以同样满足z=2y，因此原方程变为35x²=7y³，即5x²=y³，但在这里y=20，x=40：
5*(40)^2=5*1600=8000=20³=8000，确实成立。因此，这似乎符合之前的条件，即当y=5k³，x=5k²时，得到解。然而，此时k³=4，即k=∛4，这不是整数，所以之前的参数化可能只适用于k为整数时，当k不是整数时，可能得到非整数解，但此处却得到了整数解，说明参数化可能有其他方式。
或者，可能我的参数化有误，应该更一般地考虑。
例如，方程5x²=y³，要求y必须是5的倍数，因为右边是5的倍数，因此设y=5a，那么方程变为5x²=(5a)^3=125a³，即x²=25a³，因此x=5b，其中b²=a³。这说明a必须是一个平方数，即a=c²，这样b²=c^6，即b=c³。因此，y=5c²，x=5c³，这样代入原方程：
35x² +y³=35*(5c³)^2 + (5c²)^3=35*25c^6 +125c^6=875c^6 +125c^6=1000c^6=(10c²)^3=z³
所以z=10c²，因此参数解为x=5c³，y=5c²，z=10c²，其中c为正整数。
当c=1时，x=5，y=5，z=10，对应之前的解。
当c=2时，x=5*8=40，y=5*4=20，z=10*4=40，对应另一个解。
当c=3时，x=5*27=135，y=5*9=45，z=10*9=90，验证：
35*(135)^2 +45^3=35*18225 +91125=637875 +91125=729000=90^3=729000，成立。
因此，这个参数化方法能生成无穷多解，形如x=5c³，y=5c²，z=10c²，其中c是任意正整数。
因此，原方程的正整数解为所有形如x=5c³，y=5c²，z=10c²的正整数，其中c是正整数。
除此之外，可能还存在其他类型的解，但至少这个参数化系列提供了无限多解。
因此，题目要求的正整数解即为上述参数化的形式，例如当c=1时，解为x=5，y=5，z=10；当c=2时，x=40，y=20，z=40，以此类推。
**答案**见图

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-2-27 21:43
与此类似的问题：https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此，这样的解可能存在，并且当y=5m ...

它又重新思考了

hujunhua

1、若 $(x,y,z)$是一解，则 $(k^3x,k^2y,k^2z)$也是一解，我们首先排除这种比例解。

2、如果$(x,y,z)$是方程\[
7x^2+y^3=z^3\tag1
\]的解，则$(5x,5y,5z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(1)中去解。

3、如果$(x,y,z)$是方程\[
5x^2+y^3=z^3\tag2
\]的解，则$(7x,7y,7z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(2)中去解。

4、如果$(x,y,z)$是方程\[
x^2+y^3=z^3\tag3
\]的解，则$(35x,35y,35z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(3)中去解。

5、剩下的情况在原方程中求解。包括以下几种情况

5.1  $GCD(y,z)=1$. 分 `7 | (z-y)`和`7 | (z^2+yz+y^2)`两种情况。
5.2  `GCD(y,z)=d>1, 5\nmid d,7\nmid d`.  分`d | (z-y)`和`d | (z^2+yz+y^2)`两种情况。

hujunhua

设$z-y=5d^2$，`ω^2+ω+1=0`,则\[7x^2=d^2(z-yω)(z-yω^2)\tag3\]那么$z-yω=ε(1-2ω)(u-vω)^2,x=d(u^2+uv+v^2)$, 分别取$ε=±1, ±ω, ±ω^2 $展开比较系数(以ε=-1为例)得\[z=-u^2+3v^2+4uv,y=-2u^2-v^2-6uv\]代入`z-y=5d^2`得\[u^2+4v^2+10uv=5d^2\tag4\]降为二次不定方程就有现成方法了。

wayne

穷举了一下$0<y<z<2*10^5$的所有解,有3467组, 发现全是$z-y=5m$(m不必为平方数)或者$z-y=35m$(m不必为平方数)的情况,也就是说暂时不存在 $5 ∤z-y$的情况. 具体戳链接(按照y排序): https://nestwhile.com/res/dump/all_200000.txt
还存在143组y,z互质的解:https://nestwhile.com/res/dump/gcd_1.txt

hujunhua

3467解中，除去比例解，还剩1167个非比例解。分布如下图所示：


据此可以将6#中的分类更加细化。