求正整数解35x^2+y^3=z^3

wayne

求正整数解, $35x^2+y^3=z^3$

nyy

我只会穷举法！

mathe

比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求

数论爱好者

mathe 发表于 2025-2-27 21:32
比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求

与此类似的问题：https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此，这样的解可能存在，并且当y=5m³，x=5m²，z=2y=10m³时，代入原方程：
35x² +y³=35*(5m²)^2 + (5m³)^3=35*25m^4 +125m^9=875m^4 +125m^9
而z³=(10m³)^3=1000m^9，显然只有当875m^4 +125m^9=1000m^9 →875m^4=875m^9 →m^4(1 -m^5)=0，只有当m=1时成立，因此这是一个特殊的解，即当m=1时，y=5*1=5，x=5*1=5，z=10*1=10，代入原方程：
35*25 +125=875 +125=1000=10³，确实成立。所以这又是一个解：x=5，y=5，z=10。
这与我之前找到的x=40，y=20，z=40不同，说明可能存在多个解。
刚才我可能漏掉了这个解，因为之前的尝试中可能没有试到这样的值。
让我再检查一下这个解：
当y=5，z=10，x=5：
35*(5)^2 +5³=35*25 +125=875 +125=1000=10³，确实正确。所以这也是一个解。
看来存在至少两个解：x=5，y=5，z=10，以及x=40，y=20，z=40，可能还有更多。
这说明原方程存在无穷多解，可以通过参数化的方法得到。例如，当设z=2y时，方程变为35x²=7y³，即5x²=y³，因此y必须是5乘以一个立方数，x是5乘以一个平方数。设y=5k³，那么x=5k²，这样代入方程得到：
35*(5k²)^2 + (5k³)^3 =35*25k^4 +125k^9=875k^4 +125k^9=125k^9 +875k^4
而z=2y=10k³，z³=1000k^9，因此需要满足125k^9 +875k^4=1000k^9，即875k^4=875k^9，即k^4= k^9，解得k=0或k=1。k=0不符合正整数解，所以k=1，得到y=5，x=5，z=10，这是唯一的一个解在这种情况下。
因此，这种情况下只能得到一个解。而之前的另一个解x=40，y=20，z=40，是否属于另一种参数化的情况呢？
例如，当z=2y时，我们得到的是x=5，y=5，z=10，而当y=20，z=40时，同样满足z=2y，所以应该同样适用，但根据上面的推导，当y=20=5k³，解得k³=4，k不是整数，因此这个解可能不属于这个参数化系列，说明还有其他的解存在。
因此，可能需要另一个参数化的方法。
回到之前找到的解x=40，y=20，z=40，这里z=40=2*20=2y，所以同样满足z=2y，因此原方程变为35x²=7y³，即5x²=y³，但在这里y=20，x=40：
5*(40)^2=5*1600=8000=20³=8000，确实成立。因此，这似乎符合之前的条件，即当y=5k³，x=5k²时，得到解。然而，此时k³=4，即k=∛4，这不是整数，所以之前的参数化可能只适用于k为整数时，当k不是整数时，可能得到非整数解，但此处却得到了整数解，说明参数化可能有其他方式。
或者，可能我的参数化有误，应该更一般地考虑。
例如，方程5x²=y³，要求y必须是5的倍数，因为右边是5的倍数，因此设y=5a，那么方程变为5x²=(5a)^3=125a³，即x²=25a³，因此x=5b，其中b²=a³。这说明a必须是一个平方数，即a=c²，这样b²=c^6，即b=c³。因此，y=5c²，x=5c³，这样代入原方程：
35x² +y³=35*(5c³)^2 + (5c²)^3=35*25c^6 +125c^6=875c^6 +125c^6=1000c^6=(10c²)^3=z³
所以z=10c²，因此参数解为x=5c³，y=5c²，z=10c²，其中c为正整数。
当c=1时，x=5，y=5，z=10，对应之前的解。
当c=2时，x=5*8=40，y=5*4=20，z=10*4=40，对应另一个解。
当c=3时，x=5*27=135，y=5*9=45，z=10*9=90，验证：
35*(135)^2 +45^3=35*18225 +91125=637875 +91125=729000=90^3=729000，成立。
因此，这个参数化方法能生成无穷多解，形如x=5c³，y=5c²，z=10c²，其中c是任意正整数。
因此，原方程的正整数解为所有形如x=5c³，y=5c²，z=10c²的正整数，其中c是正整数。
除此之外，可能还存在其他类型的解，但至少这个参数化系列提供了无限多解。
因此，题目要求的正整数解即为上述参数化的形式，例如当c=1时，解为x=5，y=5，z=10；当c=2时，x=40，y=20，z=40，以此类推。
**答案**见图

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-2-27 21:43
与此类似的问题：https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此，这样的解可能存在，并且当y=5m ...

它又重新思考了

hujunhua

1、若 $(x,y,z)$是一解，则 $(k^3x,k^2y,k^2z)$也是一解，我们首先排除这种比例解。

2、如果$(x,y,z)$是方程\[
7x^2+y^3=z^3\tag1
\]的解，则$(5x,5y,5z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(1)中去解。

3、如果$(x,y,z)$是方程\[
5x^2+y^3=z^3\tag2
\]的解，则$(7x,7y,7z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(2)中去解。

4、如果$(x,y,z)$是方程\[
x^2+y^3=z^3\tag3
\]的解，则$(35x,35y,35z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(3)中去解。

5、剩下的情况在原方程中求解。包括以下几种情况

5.1  $GCD(y,z)=1$. 分 `7 | (z-y)`和`7 | (z^2+yz+y^2)`两种情况。
5.2  `GCD(y,z)=d>1, 5\nmid d,7\nmid d`.  分`d | (z-y)`和`d | (z^2+yz+y^2)`两种情况。

hujunhua

设$z-y=5d^2$，`ω^2+ω+1=0`,则\[7x^2=d^2(z-yω)(z-yω^2)\tag3\]那么$z-yω=ε(1-2ω)(u-vω)^2,x=d(u^2+uv+v^2)$, 分别取$ε=±1, ±ω, ±ω^2 $展开比较系数(以ε=-1为例)得\[z=-u^2+3v^2+4uv,y=-2u^2-v^2-6uv\]代入`z-y=5d^2`得\[u^2+4v^2+10uv=5d^2\tag4\]降为二次不定方程就有现成方法了。

wayne

穷举了一下$0<y<z<2*10^5$的所有解,有3467组, 发现全是$z-y=5m$(m不必为平方数)或者$z-y=35m$(m不必为平方数)的情况,也就是说暂时不存在 $5 ∤z-y$的情况. 具体戳链接(按照y排序): https://nestwhile.com/res/dump/all_200000.txt
还存在143组y,z互质的解:https://nestwhile.com/res/dump/gcd_1.txt

hujunhua

3467解中，除去比例解，还剩1167个非比例解。分布如下图所示：


据此可以将6#中的分类更加细化。

wayne

应该不算挖坟吧,关于$35x^2+y^3=z^3$ , 我再继续 往前推进一下. 因为还有价值.
首先, 不难得证, $5|z-y$, 所以 设$z=y+5k$, 得到$7 x^2 =25 k^3+15 k^2 y+3 k y^2$,  
这个三参数的方程就比较有意思了,  对于给定的$k$, 是关于$x,y$的二次方程. 所以要么无解,要么存在 有理参数解.

1) 当$k=3m$, 即$z-y=5k=15m$的时候,$m$只能是形如$x^2 + xy + y^2$的数,叫做洛希数(Löschian number).其他无解. https://oeis.org/A003136, https://oeis.org/A270672
2) 当$k=3m+1$,即$z-y=5k=15m+5$ 的时候,$m$只能是形如$x^2 + xy + y^2 + x+ y$的数, 其他无解https://oeis.org/A202822.
3) 当$k=3m+2$的时候,无解.
以下Mathematica生成所有有解的k.

1. nf[{i_,j_}]:=3(i^2+i*j+j^2+i+j)+1;Union[Flatten[{Select[Range[1,600],Resolve[Exists[{x,y},Reduce[#==3 (x^2+x y+y^2),{x,y},Integers]]]&],Union[nf/@Tuples[Range[-10,10],2]]}]]

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1. 1,3,4,7,9,12,13,16,19,21,25,27,28,31,36,37,39,43,48,49,52,57,61,63,64,67,73,75,76,79,81,84,91,93,97,100,103,108,109,111,112,117,121,124,127,129,133,139,144,147,148,151,156,157,163,169,171,172,175,181,183,189,192,193,196,199,201,208,211,217,219,223,225,228,229,237,241,243,244,247,252,256,259,268,271,273,277,279,283,289,291,292,300,301,304,307,309,313,316,324,325,327,331,333,336,337,343,349,351,361,363,364,367,372,373,379,381,387,388,397,399,400,403,409,412,417,421,427,432,433,436,439,441,444,448,453,457,463,468,469,471,475,481,484,487,489,496,499,507,508,511,513,516,523,525,529,532,541,543,547,549,553,556,559,567,571,576,577,579,588,589,592,597,601,603,604,607,613,619,624,625,628,631,633,637,643,651,652,657,661,669,673,675,676,679,684,687,688,691,700,703,709,711,721,723,724,727,729,732,733,739,741,751,756,757,763,768,769,772,775,777,784,787,793,796,804,811,813,817,819,823,829,831,832,837,841,844,847,849,853,859,867,868,871,873,876,877,883,889,892,900,903,907,912,916,919,921,925,927,931,937,939,948,949,961,964,967,972,973,975,976,981,988,991,993,997,999,1009

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拿到了有解的k, 接下来就好说了,比如 $k=4, -1600 + 7 x^2 - 240 y - 12 y^2=0$的有理参数解是$[x,y]=[(-10*U^2 - 120*U - 840)/(U^2 - 84), (-5*U^2 + 140*U + 1260)/(U^2 - 84)]$
进而得到$35x^2+y^3=z^3$的有理参数解是 $[x,y,z]= [-\frac{10 \left(U^2+12 U+84\right)}{U^2-84},-\frac{5 \left(U^2-28 U-252\right)}{U^2-84},\frac{5 \left(3 U^2+28 U-84\right)}{U^2-84}]$

拿到 有理解的参数表达式了, 就可以 随便造了

1. SortBy[Table[{tmp={(10 (84+12 U+U^2))/(-84+U^2),-((5 (-252-28 U+U^2))/(-84+U^2)),(5 (-84+28 U+3 U^2))/(-84+U^2)};d=Denominator[tmp[[1]]];d^3tmp[[1]],d^2tmp[[2]],d^2tmp[[3]]},{U,-10,10,1/10}],Abs]

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1. {-8,-12,8}
   
2. {-10,-5,15}
   
3. {-10,-15,5}
   
4. {-14,-1,19}
   
5. {-14,-19,1}
   
6. {-26,9,29}
   
7. {-40,20,40}
   
8. {-40,-40,-20}
   
9. {40,-40,-20}
   
10. {-62,-57,-37}
    
11. {-122,-103,-83}
    
12. {-190,135,155}
    
13. {190,135,155}
    
14. {-190,-155,-135}
    
15. {-910,-705,-685}
    
16. {910,-705,-685}
    
17. {-950,-265,235}
    
18. {-2150,-545,-45}
    
19. {4360,3320,3340}
    
20. {12050,-2085,-1585}
    
21. {-37570,-2635,3145}
    
22. {-37570,-3145,2635}
    
23. {-38726,-2397,3383}
    
24. {46850,-7405,-6905}
    
25. {57650,8555,9055}
    
26. {-80920,-6120,-340}
    
27. {-106930,-7395,-1615}
    
28. {-121958,-8109,-2329}
    
29. {-163574,4267,10047}
    
30. {224450,34035,34535}
    
31. {-367030,13515,19295}
    
32. {367030,-19295,-13515}
    
33. {-383320,-13320,14060}
    
34. {-413438,-16909,10471}
    
35. {-521110,-16605,17015}
    
36. {-676286,-25197,2183}
    
37. {-684130,-12685,24295}
    
38. {-684130,-24295,12685}
    
39. {-713714,-11653,25327}
    
40. {-773942,-37621,-31841}
    
41. {-799658,-24581,19599}
    
42. {-870758,-3813,29807}
    
43. {-917230,3515,30895}
    
44. {-949870,-13395,30785}
    
45. {-961480,-31820,5160}
    
46. {-999370,-32745,-5365}
    
47. {-1327990,5945,39565}
    
48. {-1327990,-39565,-5945}
    
49. {-1647914,-45637,-1457}
    
50. {-1705690,-25665,43955}
    
51. {1754230,75905,81685}
    
52. {-1754230,-81685,-75905}
    
53. {-2378470,103955,109735}
    
54. {-2459170,-60845,-23865}
    
55. {-2645560,-7080,62540}
    
56. {-2666258,-64629,-27649}
    
57. {-2810114,-63717,26063}
    
58. {-3241058,-71221,18559}
    
59. {-3600670,-79195,-35015}
    
60. {-3775526,-86469,-52849}
    
61. {-3807010,-54905,69915}
    
62. {-3936902,55883,89503}
    
63. {4123270,-90945,-53965}
    
64. {-4202830,-100085,-72705}
    
65. {4613530,-108595,-81215}
    
66. {-4623670,1005,90785}
    
67. {-4793530,54755,98935}
    
68. {-5028970,-92545,45235}
    
69. {-5866690,92045,125665}
    
70. {-5882890,-108265,-38645}
    
71. {-6019960,-55180,103240}
    
72. {-6118840,-130380,-96760}
    
73. {-6343550,-33405,111095}
    
74. {-6384326,-109381,49039}
    
75. {-6682330,-115785,21995}
    
76. {-7047730,31155,120935}
    
77. {-7905158,-129317,29103}
    
78. {-8058790,-86355,117665}
    
79. {-10811710,-86655,150965}
    
80. {-10811710,-150965,86655}
    
81. {-11296210,-165505,-40685}
    
82. {-11395270,-514845,-509065}
    
83. {-11522110,-182605,-112985}
    
84. {11522110,-182605,-112985}
    
85. {-16514590,-212005,25615}
    
86. {-16612870,-125095,197485}
    
87. {17053480,-298920,-254740}
    
88. {-18783494,-366581,-332961}
    
89. {19654870,330455,367435}
    
90. {-20784070,-280395,-190615}
    
91. {-21279640,-246280,96940}
    
92. {-21465910,-257655,-99235}
    
93. {22068280,441780,469160}
    
94. {-22818970,-392685,-348505}
    
95. {-23853790,-269205,74015}
    
96. {-24890440,-280780,-76760}
    
97. {-25764350,-299965,-155465}
    
98. {-28055890,-539355,-505735}
    
99. {-28273240,-283880,172140}
    
100. {29266210,-561905,-528285}

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