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[讨论] 求正整数解35x^2+y^3=z^3

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发表于 2025-2-27 21:03:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求正整数解, $35x^2+y^3=z^3$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-2-27 21:11:43 | 显示全部楼层
我只会穷举法!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-2-27 21:32:24 来自手机 | 显示全部楼层
比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求
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发表于 2025-2-27 21:43:23 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2025-2-27 21:32
比如可以取
d=3a^2+3*35*a+35^2
那么y=ad,z=ad+35d就应该满足要求

与此类似的问题:https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此,这样的解可能存在,并且当y=5m³,x=5m²,z=2y=10m³时,代入原方程:
35x² +y³=35*(5m²)^2 + (5m³)^3=35*25m^4 +125m^9=875m^4 +125m^9
而z³=(10m³)^3=1000m^9,显然只有当875m^4 +125m^9=1000m^9 →875m^4=875m^9 →m^4(1 -m^5)=0,只有当m=1时成立,因此这是一个特殊的解,即当m=1时,y=5*1=5,x=5*1=5,z=10*1=10,代入原方程:
35*25 +125=875 +125=1000=10³,确实成立。所以这又是一个解:x=5,y=5,z=10。
这与我之前找到的x=40,y=20,z=40不同,说明可能存在多个解。
刚才我可能漏掉了这个解,因为之前的尝试中可能没有试到这样的值。
让我再检查一下这个解:
当y=5,z=10,x=5:
35*(5)^2 +5³=35*25 +125=875 +125=1000=10³,确实正确。所以这也是一个解。
看来存在至少两个解:x=5,y=5,z=10,以及x=40,y=20,z=40,可能还有更多。
这说明原方程存在无穷多解,可以通过参数化的方法得到。例如,当设z=2y时,方程变为35x²=7y³,即5x²=y³,因此y必须是5乘以一个立方数,x是5乘以一个平方数。设y=5k³,那么x=5k²,这样代入方程得到:
35*(5k²)^2 + (5k³)^3 =35*25k^4 +125k^9=875k^4 +125k^9=125k^9 +875k^4
而z=2y=10k³,z³=1000k^9,因此需要满足125k^9 +875k^4=1000k^9,即875k^4=875k^9,即k^4= k^9,解得k=0或k=1。k=0不符合正整数解,所以k=1,得到y=5,x=5,z=10,这是唯一的一个解在这种情况下。
因此,这种情况下只能得到一个解。而之前的另一个解x=40,y=20,z=40,是否属于另一种参数化的情况呢?
例如,当z=2y时,我们得到的是x=5,y=5,z=10,而当y=20,z=40时,同样满足z=2y,所以应该同样适用,但根据上面的推导,当y=20=5k³,解得k³=4,k不是整数,因此这个解可能不属于这个参数化系列,说明还有其他的解存在。
因此,可能需要另一个参数化的方法。
回到之前找到的解x=40,y=20,z=40,这里z=40=2*20=2y,所以同样满足z=2y,因此原方程变为35x²=7y³,即5x²=y³,但在这里y=20,x=40:
5*(40)^2=5*1600=8000=20³=8000,确实成立。因此,这似乎符合之前的条件,即当y=5k³,x=5k²时,得到解。然而,此时k³=4,即k=∛4,这不是整数,所以之前的参数化可能只适用于k为整数时,当k不是整数时,可能得到非整数解,但此处却得到了整数解,说明参数化可能有其他方式。
或者,可能我的参数化有误,应该更一般地考虑。
例如,方程5x²=y³,要求y必须是5的倍数,因为右边是5的倍数,因此设y=5a,那么方程变为5x²=(5a)^3=125a³,即x²=25a³,因此x=5b,其中b²=a³。这说明a必须是一个平方数,即a=c²,这样b²=c^6,即b=c³。因此,y=5c²,x=5c³,这样代入原方程:
35x² +y³=35*(5c³)^2 + (5c²)^3=35*25c^6 +125c^6=875c^6 +125c^6=1000c^6=(10c²)^3=z³
所以z=10c²,因此参数解为x=5c³,y=5c²,z=10c²,其中c为正整数。
当c=1时,x=5,y=5,z=10,对应之前的解。
当c=2时,x=5*8=40,y=5*4=20,z=10*4=40,对应另一个解。
当c=3时,x=5*27=135,y=5*9=45,z=10*9=90,验证:
35*(135)^2 +45^3=35*18225 +91125=637875 +91125=729000=90^3=729000,成立。
因此,这个参数化方法能生成无穷多解,形如x=5c³,y=5c²,z=10c²,其中c是任意正整数。
因此,原方程的正整数解为所有形如x=5c³,y=5c²,z=10c²的正整数,其中c是正整数。
除此之外,可能还存在其他类型的解,但至少这个参数化系列提供了无限多解。
因此,题目要求的正整数解即为上述参数化的形式,例如当c=1时,解为x=5,y=5,z=10;当c=2时,x=40,y=20,z=40,以此类推。
**答案**见图
捕获.JPG

点评

有很多漏掉了, {26,9,29},{37,54,59},{62,37,57},{73,109,114},{122,83,103}  发表于 2025-2-27 21:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-2-27 22:30:20 | 显示全部楼层
数论爱好者 发表于 2025-2-27 21:43
与此类似的问题:https://oeis.org/A266230
深度求索机器人太啰嗦了
因此,这样的解可能存在,并且当y=5m ...

它又重新思考了
捕获.JPG
捕获1.JPG
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发表于 2025-2-27 23:20:25 | 显示全部楼层
1、若 $(x,y,z)$是一解,则 $(k^3x,k^2y,k^2z)$也是一解,我们首先排除这种比例解。

2、如果$(x,y,z)$是方程\[
7x^2+y^3=z^3\tag1
\]的解,则$(5x,5y,5z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(1)中去解。

3、如果$(x,y,z)$是方程\[
5x^2+y^3=z^3\tag2
\]的解,则$(7x,7y,7z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(2)中去解。

4、如果$(x,y,z)$是方程\[
x^2+y^3=z^3\tag3
\]的解,则$(35x,35y,35z)$是原方程的解。这类解我们分离在方程(3)中去解。

5、剩下的情况在原方程中求解。包括以下几种情况

5.1  $GCD(y,z)=1$. 分 `7 | (z-y)`和`7 | (z^2+yz+y^2)`两种情况。
5.2  `GCD(y,z)=d>1, 5\nmid d,7\nmid d`.  分`d | (z-y)`和`d | (z^2+yz+y^2)`两种情况。

点评

按9#的结果细化了分类  发表于 2025-2-28 22:17
@mathe 确实,剩下的情况不能保证 GCD(y,z)=1.  发表于 2025-2-28 16:23
对于y,z一个公共素因子p,如果非5,7可以看出p^2整除x.由此两边消除后左边会多一个p,也就是y,z削成互素后,左边常数系数可以是任意整数。 所以反过来,对于任意互素的y,z对,我们都可以作为基础解,通过对左边配置合适   发表于 2025-2-28 07:34

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发表于 2025-2-28 00:20:28 | 显示全部楼层

5.1 GCD(y,z)=1, 7|(z^2+yz+y^2)

设$z-y=5d^2$,`ω^2+ω+1=0`,则\[7x^2=d^2(z-yω)(z-yω^2)\tag3\]那么$z-yω=ε(1-2ω)(u-vω)^2,x=d(u^2+uv+v^2)$, 分别取$ε=±1, ±ω, ±ω^2 $展开比较系数(以ε=-1为例)得\[z=-u^2+3v^2+4uv,y=-2u^2-v^2-6uv\]代入`z-y=5d^2`得\[u^2+4v^2+10uv=5d^2\tag4\]降为二次不定方程就有现成方法了。
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 楼主| 发表于 2025-2-28 09:16:16 | 显示全部楼层
穷举了一下$0<y<z<2*10^5$的所有解,有3467组, 发现全是$z-y=5m$(m不必为平方数)或者$z-y=35m$(m不必为平方数)的情况,也就是说暂时不存在 $5 ∤z-y$的情况. 具体戳链接(按照y排序): https://nestwhile.com/res/dump/all_200000.txt
还存在143组y,z互质的解:https://nestwhile.com/res/dump/gcd_1.txt

点评

是的,必须5的倍数,因为5|z^3-y^3,而模5是周期4  发表于 2025-2-28 20:00
是要么5|z-y,要么35|z-y, 不存在单独的 7|z-y且5不整除z-y  发表于 2025-2-28 16:19
是我表达有误.  发表于 2025-2-28 16:17
35|z^3-y^3, 可以得出5|z-y,但是z-y不一定是7的倍数。但是肯定有z-y是7的倍数的情况  发表于 2025-2-28 16:07
为什么不存在7|(y,z)的情况?这显然是存在的,最多就是x,y,z同时乘上7的若干次方后的结果。  发表于 2025-2-28 15:50
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发表于 2025-2-28 21:44:52 | 显示全部楼层
3467解中,除去比例解,还剩1167个非比例解。分布如下图所示:
解的分布.png

据此可以将6#中的分类更加细化。
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 楼主| 发表于 2025-6-24 19:59:26 | 显示全部楼层
应该不算挖坟吧,关于$35x^2+y^3=z^3$ , 我再继续 往前推进一下. 因为还有价值.
首先, 不难得证, $5|z-y$, 所以 设$z=y+5k$, 得到$7 x^2 =25 k^3+15 k^2 y+3 k y^2$,  
这个三参数的方程就比较有意思了,  对于给定的$k$, 是关于$x,y$的二次方程. 所以要么无解,要么存在 有理参数解.

1) 当$k=3m$, 即$z-y=5k=15m$的时候,$m$只能是形如$x^2 + xy + y^2$的数,叫做洛希数(Löschian number).其他无解. https://oeis.org/A003136, https://oeis.org/A270672
2) 当$k=3m+1$,即$z-y=5k=15m+5$ 的时候,$m$只能是形如$x^2 + xy + y^2 + x+ y$的数, 其他无解https://oeis.org/A202822.
3) 当$k=3m+2$的时候,无解.
以下Mathematica生成所有有解的k.
  1. nf[{i_,j_}]:=3(i^2+i*j+j^2+i+j)+1;Union[Flatten[{Select[Range[1,600],Resolve[Exists[{x,y},Reduce[#==3 (x^2+x y+y^2),{x,y},Integers]]]&],Union[nf/@Tuples[Range[-10,10],2]]}]]
复制代码

  1. 1,3,4,7,9,12,13,16,19,21,25,27,28,31,36,37,39,43,48,49,52,57,61,63,64,67,73,75,76,79,81,84,91,93,97,100,103,108,109,111,112,117,121,124,127,129,133,139,144,147,148,151,156,157,163,169,171,172,175,181,183,189,192,193,196,199,201,208,211,217,219,223,225,228,229,237,241,243,244,247,252,256,259,268,271,273,277,279,283,289,291,292,300,301,304,307,309,313,316,324,325,327,331,333,336,337,343,349,351,361,363,364,367,372,373,379,381,387,388,397,399,400,403,409,412,417,421,427,432,433,436,439,441,444,448,453,457,463,468,469,471,475,481,484,487,489,496,499,507,508,511,513,516,523,525,529,532,541,543,547,549,553,556,559,567,571,576,577,579,588,589,592,597,601,603,604,607,613,619,624,625,628,631,633,637,643,651,652,657,661,669,673,675,676,679,684,687,688,691,700,703,709,711,721,723,724,727,729,732,733,739,741,751,756,757,763,768,769,772,775,777,784,787,793,796,804,811,813,817,819,823,829,831,832,837,841,844,847,849,853,859,867,868,871,873,876,877,883,889,892,900,903,907,912,916,919,921,925,927,931,937,939,948,949,961,964,967,972,973,975,976,981,988,991,993,997,999,1009
复制代码

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拿到了有解的k, 接下来就好说了,比如 $k=4, -1600 + 7 x^2 - 240 y - 12 y^2=0$的有理参数解是$[x,y]=[(-10*U^2 - 120*U - 840)/(U^2 - 84), (-5*U^2 + 140*U + 1260)/(U^2 - 84)]$
进而得到$35x^2+y^3=z^3$的有理参数解是 $[x,y,z]= [-\frac{10 \left(U^2+12 U+84\right)}{U^2-84},-\frac{5 \left(U^2-28 U-252\right)}{U^2-84},\frac{5 \left(3 U^2+28 U-84\right)}{U^2-84}]$

拿到 有理解的参数表达式了, 就可以 随便造了
  1. SortBy[Table[{tmp={(10 (84+12 U+U^2))/(-84+U^2),-((5 (-252-28 U+U^2))/(-84+U^2)),(5 (-84+28 U+3 U^2))/(-84+U^2)};d=Denominator[tmp[[1]]];d^3tmp[[1]],d^2tmp[[2]],d^2tmp[[3]]},{U,-10,10,1/10}],Abs]
复制代码
  1. {-8,-12,8}
  2. {-10,-5,15}
  3. {-10,-15,5}
  4. {-14,-1,19}
  5. {-14,-19,1}
  6. {-26,9,29}
  7. {-40,20,40}
  8. {-40,-40,-20}
  9. {40,-40,-20}
  10. {-62,-57,-37}
  11. {-122,-103,-83}
  12. {-190,135,155}
  13. {190,135,155}
  14. {-190,-155,-135}
  15. {-910,-705,-685}
  16. {910,-705,-685}
  17. {-950,-265,235}
  18. {-2150,-545,-45}
  19. {4360,3320,3340}
  20. {12050,-2085,-1585}
  21. {-37570,-2635,3145}
  22. {-37570,-3145,2635}
  23. {-38726,-2397,3383}
  24. {46850,-7405,-6905}
  25. {57650,8555,9055}
  26. {-80920,-6120,-340}
  27. {-106930,-7395,-1615}
  28. {-121958,-8109,-2329}
  29. {-163574,4267,10047}
  30. {224450,34035,34535}
  31. {-367030,13515,19295}
  32. {367030,-19295,-13515}
  33. {-383320,-13320,14060}
  34. {-413438,-16909,10471}
  35. {-521110,-16605,17015}
  36. {-676286,-25197,2183}
  37. {-684130,-12685,24295}
  38. {-684130,-24295,12685}
  39. {-713714,-11653,25327}
  40. {-773942,-37621,-31841}
  41. {-799658,-24581,19599}
  42. {-870758,-3813,29807}
  43. {-917230,3515,30895}
  44. {-949870,-13395,30785}
  45. {-961480,-31820,5160}
  46. {-999370,-32745,-5365}
  47. {-1327990,5945,39565}
  48. {-1327990,-39565,-5945}
  49. {-1647914,-45637,-1457}
  50. {-1705690,-25665,43955}
  51. {1754230,75905,81685}
  52. {-1754230,-81685,-75905}
  53. {-2378470,103955,109735}
  54. {-2459170,-60845,-23865}
  55. {-2645560,-7080,62540}
  56. {-2666258,-64629,-27649}
  57. {-2810114,-63717,26063}
  58. {-3241058,-71221,18559}
  59. {-3600670,-79195,-35015}
  60. {-3775526,-86469,-52849}
  61. {-3807010,-54905,69915}
  62. {-3936902,55883,89503}
  63. {4123270,-90945,-53965}
  64. {-4202830,-100085,-72705}
  65. {4613530,-108595,-81215}
  66. {-4623670,1005,90785}
  67. {-4793530,54755,98935}
  68. {-5028970,-92545,45235}
  69. {-5866690,92045,125665}
  70. {-5882890,-108265,-38645}
  71. {-6019960,-55180,103240}
  72. {-6118840,-130380,-96760}
  73. {-6343550,-33405,111095}
  74. {-6384326,-109381,49039}
  75. {-6682330,-115785,21995}
  76. {-7047730,31155,120935}
  77. {-7905158,-129317,29103}
  78. {-8058790,-86355,117665}
  79. {-10811710,-86655,150965}
  80. {-10811710,-150965,86655}
  81. {-11296210,-165505,-40685}
  82. {-11395270,-514845,-509065}
  83. {-11522110,-182605,-112985}
  84. {11522110,-182605,-112985}
  85. {-16514590,-212005,25615}
  86. {-16612870,-125095,197485}
  87. {17053480,-298920,-254740}
  88. {-18783494,-366581,-332961}
  89. {19654870,330455,367435}
  90. {-20784070,-280395,-190615}
  91. {-21279640,-246280,96940}
  92. {-21465910,-257655,-99235}
  93. {22068280,441780,469160}
  94. {-22818970,-392685,-348505}
  95. {-23853790,-269205,74015}
  96. {-24890440,-280780,-76760}
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  98. {-28055890,-539355,-505735}
  99. {-28273240,-283880,172140}
  100. {29266210,-561905,-528285}
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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