陈计的数列不等式

wayne

最终有下面的式子： $1-2/n+2/{n^2}*ln(n/3)+417/{128n^2}<=1-\frac{2}{n+\log_8n+3}<=a_n<=1-\frac{2}{n+3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n+1}}<=1-2/n+{5lnn+3}/{2n^2}$

wayne

发现陈老师给的条目id:A167424 其实前人已经给过， 它是id:A058891与id:A076628的差~~

wayne

不知,是否能用数学软件给出其解析表达式,楼上是用数据拟合的方式得到其逼近表达式的吗? 数学星空 发表于 2010-1-7 19:25

对，是数据拟合得到的~~ 该数列就我目前的知识理解，是无法给出解析式的

数学星空

是的,根据你提供的资料,几乎不可能找到我们想要的解析式, 不过你给出的逼近式已经非常好了...(简洁)

数学星空

找到一个稍好一点的逼近式: $a_n=1-2/{n+3+2/3*ln(n)}$

数学星空

按照mathe提供的级数代换展开技术，具体可见：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 84&fromuid=1455

设\(a_n=1-\frac{2}{n}+\frac{a_1\ln(n)+a_0}{n^2}+\frac{b_2\ln(n)^2+b_1\ln(n)+b_0}{n^3}+\frac{c_3\ln(n)^3+c_2\ln(n)^2+c_1\ln(n)+c_0}{n^4}+\frac{d_4\ln(n)^4+d_3\ln(n)^3+d_2\ln(n)^2+d_1\ln(n)+d_0}{n^5}+\dots\)

由差分条件\(2a_{n+1}=a_n^2+1\),代入后按n的级数展开，然后使 ln(n)的系数为0，可以算出最终答案：

\(a_n=1-\frac{2}{n}+\frac{2\ln(n)}{n^2}+\frac{-2\ln(n)^2+2\ln(n)-1}{n^3}+\frac{2\ln(n)^3-5\ln(n)^2+5\ln(n)-\frac{5}{3}}{n^4}+\frac{2\ln(n)^4+8\ln(n)^3+29\ln(n)^2+\frac{661}{3}\ln(n)+1420}{n^5}+\dots\)

hujunhua

这个数列与西尔维斯特序列（Sylvester's sequence，A129871）有关系，西尔维斯特序列定义如下：

`s_0=1,\D s_n=\prod^{n-1}_{i=0} s_i+1(n>0)`

序列的前10项如下：1, 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443, 12864938683278671740537145998360961546653259485195807

俺以前曾啃过，文章发在一个论坛上，论坛关了，文章也灭失了。

易将序列的递推公式中的连乘式去掉简化为二次式：`s_n=s^2_{n-1}-s_{n-1}+1`

两边乘以4可化为：`2(2s_n-1)=(2s_{n-1}-1)^2+1`

令`t_n=2s_n-1`代换即得 `t_0=1,t_1=3,2t_n=t^2_{n-1}+1(n>1)`
两者的关系就明显了。

hujunhua

记得那篇文章里有一个结论\[s_n=\lfloor\theta^{2^n}\rfloor, \color{black}{\text{or }}s_n=\lfloor2^{\theta^n}\rfloor \]`1\lt\theta\lt2`， 是一个常数，那篇文章中给出了小数点后20多位。

`\theta`到底在哪一层，忘了。由于上述通项公式，那篇文章中把西氏序列又称为“叠幂数列”。

虽然 `a_n` 与 `t_n` 由于初项不同而大相径庭，但应该也是一个“叠幂数列”的变体。