陈计的数列不等式

数学星空 · 发表于 2010-1-7 17:00:24

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若数列${a_n}$满足 :
$a_1=1/2 , a_{n+1}=1/2*(a_{n}^2+1)$
则: $1-2/n+2/{n^2}*ln(n/3)+417/{128n^2}<=a_n<=1-2/n+{5lnn+3}/{2n^2}$

数学星空 · 发表于 2010-1-7 17:02:24

http://bbs.cnool.net/topic_show.jsp?id=8242315&thesisid=494

wayne · 发表于 2010-1-7 17:49:37

呵呵~~
我编了程序迭代，分母的规律很简单，就是2^(2^n-1)，分子的规律很不好找，于是我把序列在research.att.com搜了一下：

晕死~~
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A167424

wayne · 发表于 2010-1-7 17:54:49

发觉陈老师很喜欢玩那种不齐次的式子

wayne · 发表于 2010-1-7 18:37:06

呵呵，我得到了一个更好的逼近公式
$a_n=1-\frac{4}{2n+lnn+6}$

wayne · 发表于 2010-1-7 19:10:42

猜测：
$1-\frac{2}{n+\log_8n+3}<=a_n$

wayne · 发表于 2010-1-7 19:18:53

这题1999年就有人研究过！！
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/somos

数学星空 · 发表于 2010-1-7 19:25:06

不知,是否能用数学软件给出其解析表达式,楼上是用数据拟合的方式得到其逼近表达式的吗?

数学星空 · 发表于 2010-1-7 20:06:00

本帖最后由数学星空于 2010-1-7 21:18 编辑

呵,由Wayne 给出的网页可以找到几个
$a(n)=1-2/(n+ln(n-1/2+ln(n-17/24+ln(n-919/1152+ln(n-3630361/4423680+ln(n-93968746997933/117413668454400+...) $
$a(n) = 1-2/(n + log(n) +0.777994+ (log(n)/n)*(1+o(1)) )$

wayne · 发表于 2010-1-7 20:36:33

本帖最后由 wayne 于 2010-1-7 20:40 编辑

设$a_n=1-\frac{2}{b_n}$
则有$b_{n+1}=b_n+1+\frac{1}{b_n-1},b_1=4$

$b_n=b_1+n-1+\frac{1}{b_1-1}+\frac{1}{b_2-1}+...+\frac{1}{b_{n-1}-1}$

易知：$n+3<=b_n<=n+3+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n+1}$

调和级数与对数同增长，呵呵，这下子就容易理解为什么会出现 6#的那个公式了~~

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