"不等式大师"三八献题

本因坊算帐

是的，主要就是这么个引理。 另外，可以看出，原题目中最后两项的系数2可以换成任何正数，不等式仍成立（当然右边也得相应修改），这里可以看出系数2完全是为了凑出3和8的~ 我再想想有没有简单优美一点的其它证法……

mathe

已经比较简单了。 引理证明方法应该很多，比如可以直接暴力展开。 此后，对ab和bc项使用引理，对cd,da项使用引理，记$2U=a+c,2V=b+d,U+V=2$ 余下两项根据单调性得到 ${ab}/{4-cd}+{bc}/{4-da}+{cd}/{4-ab}+{da}/{4-bc}+{2ac}/{4-bd}+{2bd}/{4-ac}$ $<={2bU}/{4-dU}+{2dU}/{4-bU}+{2U^2}/{4-V^2}+{2V^2}/{4-U^2}$ 然后再次对合并后前面两项使用引理得到 $<={4UV}/{4-UV}+{2U^2}/{4-V^2}+{2V^2}/{4-U^2}$ $={2UV}/{4-UV}+{2U^2}/{4-V^2}+{2UV}/{4-UV}+{2V^2}/{4-U^2}$ 再次分别对前后两项使用引理得到 $<={2U(V+U)}/{4-V{U+V}/2}+{2V(U+V)}/{4-U{U+V}/2}$ 最后再使用一次引理得到 $<={2(U+V)^2}/{4-{(U+V)^2}/4}=8/3$

数学星空

更一般的有: If a,b,c,d are positive real numbers such that a+b+c+d=4 ,if $0<=k<=4$ then $\frac{ab}{4-cd}+\frac{bc}{4-da}+\frac{cd}{4-ab}+\frac{da}{4-bc}+k*(\frac{ac}{4-bd}+\frac{bd}{4-ac})\le\frac{4+2k}{3}$