"不等式大师"三八献题

数学星空

If   a,b,c,d are positive real numbers such that   a+b+c+d=4  then

$\frac{ab}{4-cd}+\frac{bc}{4-da}+\frac{cd}{4-ab}+\frac{da}{4-bc}+\frac{2ac}{4-bd}+\frac{2bd}{4-ac}\le\frac{8}{3}$

gxqcn

我来个抛砖引玉。

$\frac{ab}{4-cd}=\frac{abcd}{cd(4-cd)}=abcd(\frac{1}{cd(4-cd)})=\frac{abcd}{4}(\frac{1}{cd}+\frac{1}{4-cd})$
其它式子可同理变换。

故原不等式等价于：

$abcd(1/(cd)+1/(da)+1/(ab)+1/(bc)+2/(bd)+2/(ac)+1/(4-cd)+1/(4-da)+1/(4-ab)+1/(4-bc)+2/(4-bd)+2/(4-ac))<=32/3$

但如何继续，我现在还没头绪。

qianyb

我觉得应该主要是如何把ab,ac,ad,bc,bd,cd的乘法转化为加法的问题

本因坊算帐

比较奇怪的是，左边为什么会有两项前面有系数 2 呢？

如果去掉这两个 2，然后右边改成 2，不等式不是更对称更优美么？ 难道改动后的不等式就不成立了？

mathe

应该是为了增加难度和凑出3,8.

本因坊算帐

哦，38妇女节献题啊，我忘了这茬了

想了一下，可以这么证：

1）满足约束条件 a+b+c+d=1 且都是非负实数的四元数的集合是个闭集，也容易看出不等式左边是a、b、c、d的连续函数，因此存在最大值点，不妨设此点为 A B C D

2）把分子是 ab 和 bc 的那两项，合在一起考虑，不难证明，在a+c为定值的情形下，a=c时这两项的和取得最大值；分子是 ad 和 cd的那两项之和，也有类似规律；而分子是 ac 和 bd 的那两项，也都是随着ac的增大而增大的
可知 A=C，类似的 B=D

3）代入原不等式，后面就容易了吧


只是这个解答过程比较繁琐，而且人工雕琢的痕迹太重，我觉得肯定不是大师的原证明。原证明应该是很优雅的一串不等号到底的，就像大师以前很多题目那样

mathe

这个局部调整法可行。不过1）需要处理边界条件。不过证明有上界还是比较容易的。
不过2)部分的计算量也不小

本因坊算帐

$ab/4-cd$+$bc/4-ad$

本因坊算帐

补一下7# 中 （2）的证明：

$(ab)/(4-cd)+(bc)/(4-ad)$
$= b{2/d+(a+c-4/d)/(4-cd)+(a+c-4/d)/(4-ad)}$
$= b{2/d +(a+c-4/d)(1/(4-cd)+1/(4-ad))}$
$= b{2/d +(a+c-4/d)(8-(a+c)d)/(16-4(a+c)d+acd^2)}$        (*)

由于 $ a+c+d<4$，不难得出 $ a+c-4/d<0$，以及$8-(a+c)d>0$
于是从(*)式可以看出，若$ a+c $ 为定值，则当$a=c$ 时$(ab)/(4-cd)+(bc)/(4-ad)$取得最大值

mathe

发现这个过程只证明了a=c而且b=d.
不过此后，不等式就简化了。
其实我们可以先证明引理
如果u,v,w,X,Y都是正数，而且$v>w(X+Y)$,
那么必然有不等式
${uX}/{v-wY}+{uY}/{v-wX}<={u(X+Y)}/{v-w/2(X+Y)}$
然后就可以用类似本因坊算帐的方法来证明