调和级数的缺项和

Buffalo

记所有含数码k的n位数的倒数和为$L_n(k)$，所有不含数码k的n位数的倒数和为$R_n(k)$，$n\ge 2$ 时 $L_n(k)$中以不含数码k的两位数i开头的各有$10^(n-2)-9^(n-2)$项，每项都在$\frac{1}{10^{n-2}i}$和$\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}$之间，而以含数码k的两位数i开头的各有$10^(n-2)$项，每项都在$\frac{1}{10^{n-2}i}$和$\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}$之间，定义$t_{\alpha}(k)=\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10i+k+\alpha}+\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10k+i+\alpha}-\frac{1}{11k+\alpha}$，$\alpha=0,1$，$s_{\alpha}(k)=\sum_{i=10}^{99} \frac{1}{i+\alpha}-t_{\alpha}(k)$，则有$(1-0.9^{n-2})s_0 (k)+t_0 (k)\ge L_n(k)\ge (1-0.9^{n-2})s_1 (k)+t_1 (k) $，类似地，$0.9^{n-2}s_0 (k)\ge R_n(k)\ge 0.9^{n-2}s_1 (k)$。 当$n < n_0(k)=2+log_{0.9}\frac{s_0 (k)+t_0 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}$时$L_n (k) n_1 (k)=2+log_{0.9}\frac{s_1 (k)+t_1 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}$时$L_n (k)>R_n(k)$。 计算结果： k $n_0 (k)$ $n_1 (k)$ 使$L_n (k)>R_n(k)$的最小n 1 3.90 4.27 4? 5? 2 5.46 5.83 6 3 6.08 6.45 7 4 6.42 6.80 7 5 6.65 7.02 7？8？ 6 6.81 7.18 7？8？ 7 6.93 7.30 7? 8? 8 7.03 7.40 8 9 7.11 7.48 8 由于估计过于粗放，数码1、5、6、7不能完全确定。 完全类似地考虑前三位得到如下结果 k $n_0 (k)$ $n_1 (k)$ 使$L_n (k)>R_n(k)$的最小n 1 4.05 4.09 5 2 5.62 5.66 6 3 6.24 6.28 7 4 6.59 6.62 7 5 6.82 6.85 7 6 6.98 7.02 7？8？ 7 7.11 7.15 8 8 7.21 7.25 8 9 7.30 7.33 8 数码6还需要进一步考虑前四位。

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补充：k也可以取零，需要稍微修改一下s，t的定义，考虑前两位就可以得到结果是8。也就是说在这里数码0更像9而不是1。 对于数码6，计算前四位仍不能确定，不过因为有三个计算结果，可以作外推，由此得到n=8。