三角形两条角平分线相等则等腰

nyy

nyy 发表于 2023-4-10 11:02
楼上的三角法也可以转换为边长表示的代数方法
给定a, b, c三边，记半周长为p, 则有角平分线长度公式\[
t ...

哪位活雷锋编辑了我的帖子？

我还是喜欢我自己的回复。因为我喜欢用软件计算，我不喜欢人工计算，人工计算太累人了！
电脑计算也容易被别人复制粘贴、供别人验证！

分别验算角平分线、中线

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,计算角平分线长度,求的是角c的平分线*)
   
3. ca[a_,b_,c_]:=Module[{p},p=(a+b+c)/2;2/(a+b)*Sqrt[a*b*p*(p-c)]]
   
4. (*计算c边的角平分线的平方减去b边的角平分线的平方,然后分解因式*)
   
5. f=ca[a,b,c]^2-ca[a,c,b]^2//Factor
   
6. 
   
7. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
8. (*子函数,已知△ABC的a b c三边长度,求c这条边上的中线长度*)
   
9. zx[a_,b_,c_]:=Sqrt[(a^2+b^2-c^2/2)/2]
   
10. f=zx[a,b,c]^2-zx[a,c,b]^2//Factor
    

复制代码

角平分线结果，tc、tb分别表示c b边上的角平分线，
\[tc^2-tb^2=0=-\frac{a (c-b) (a+b+c) \left(a^3+a^2 b+a^2 c+3 a b c+b^2 c+b c^2\right)}{(a+b)^2 (a+c)^2}\]
由上面的结果，很容易得到b=c

中线结果，zc、zb分别表示c b边上的中线。
\[zc^2-zb^2=0=\frac{3}{4} (b-c) (b+c)\]
由上面的结果，很容易得到b=c

nyy

王守恩 发表于 2023-4-10 08:22
借楼上的图，用三角法。
假定ΔABC的外接圆为单位圆，则`AC=2\sin2α,AB=2\sin2β,BC=2\sin(2α+2β)`

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. f=Sin[2a]Sin[a+2b]-Sin[2b]Sin[2a+b]//TrigFactor
   

复制代码

帮你验证一下：
\[
\sin (2 a) \sin (a+2 b)-\sin (2 b) \sin (2 a+b)=0\\
=2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b)) \sin \left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right) \sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)
\]
由上面的结果
\(2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b))\)、\(\sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)\)这两项很容易证明大于零。
因此a=b

nyy

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/steiner-lehmus
明天好好看看

nyy

A Variety of Proofs of the Steiner-Lehmus Theorem

https://dc.etsu.edu/cgi/viewcont ... 332&context=etd

lihpb00

用全等三角形法和套用角平分线公式