我骑方轮车笑对坑洼人生

luckydog

我来看楼主和二楼的，好专业，我纯粹看热闹

葡萄糖

hujunhua 发表于 2010-7-26 15:17
偶(我)对使轮子中心高度不变的这个地面曲线的方程是什么有点兴趣。算了一下，结果是双曲余弦函数y=-cosh(x).
以轮子中心到边的距离为单位长，轮子中心所划出的水平线为x轴。
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$y=-cosh(x)$是双曲余弦函数吗？应该说$y=-cosh(x)$是双曲余弦函数的相反数！或说曲线是悬链线！望不介意！
我认为这不是吹毛求疵的怪癖，相反，而是严谨认真的态度。
我感兴趣的是：不知您是否用的是\(round\)函数？
不知您是否注意到地面曲线(悬链线)的的单侧渐开线(红色的曲线)不具有单一的凹凸性。

wayne 发表于 2010-7-29 12:27
假设转轴截面是三角形，五角星形的，那传动表面又该是什么曲线呢？

算起来还是蛮有趣的！
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转轴截面是三角形、五角星形的，传动表面曲线是悬链线。
\(可是，事与愿违，天公不作美！三角形、五角星形在传动表面(悬链线)上滚动时，\color{red}{被卡住}！\)
为什么会被卡住？
因为，悬链线的的单侧渐开线(青色的曲线)(右侧一拱的曲线的渐开线)在渐开点处的切线与悬链线(右侧一拱的曲线的渐开线)在渐开点处的切线正交。
所以，当悬链线(右侧一拱的曲线)在渐开点处的切线与另一个相邻悬链线(左侧一拱的曲线)在渐开点处的切线夹角小于90degree时，
悬链线的的单侧渐开线(青色的曲线)(右侧一拱的曲线的渐开线)与另一个相邻悬链线(左侧一拱的曲线)相交便显而易见了！如图：

曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。
\(悬链线的的单侧渐开线\)的\(渐屈线\)是\(悬链线的的单侧渐开线\)每点的\(曲率中心(曲率圆圆心)\)的集。

方轮子的自行车
美国马卡莱斯特学院一位名叫\(Wagon\)的数学教授就做了这样一辆正方形轮子自形车，并且还制作一个配合他行驶的一段道路。在这样的道路上自形车能稳定的行驶。
道路看上去一组波浪，乍看之下，每一小块波浪像一段抛物线。实际上，\(Wagon\)教授介绍，“小波浪”的曲线其实并不是抛物线，而是倒过来的双曲余弦函数\(cosh(x)\)的一部分。“这车子我骑得非常非常得平稳。”教授一边骑在车上展示，一边说道。
实际上，我们还能为更多的正多边形轮子设计类似的道路。比如，\(\color{red}{正五边形,正六边形}\)等等。那么对应道路的“小波浪”会变得更平更窄。当正多边形边数越来越多，到达无穷条边时，也就成了圆，这时道路就会成为水平的直线，也就是平路了。
不过，\(Wagon\)教授说，正三角形是没有这样的道路的，无论怎么做，正三角形的轮子总会\(\color{red}{被卡在}\)某个地方。

面对这样的设计，哆嗒数学网的小编在感叹数学的神奇的同时，还想说：“Wagon老师，你转弯怎么办？”
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wayne 发表于 2010-7-29 12:27
还是双曲余弦函数，只不过取的弧长不同罢了。取的弧长使相邻两拱的夹角等于多边形的内角就是了。
得到一种“过双曲余弦曲线上一点作曲线的切线”的尺规作法。
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wayne 发表于 2010-8-1 14:43
可不可以把这种规则看作是一种 函数与函数的映射？
就像是傅里叶变换一样，而我们能否很方便的给出多个变换实例？
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虽然，正三角形、正五角星形是没有这样的道路(传动表面)。
但，转轴截面是正三角形、正五角星形的传动表面曲线计算的理论解还是悬链线仍然值得研究！
鄙人认为，之所以转轴截面为正三角形、正五角星形的传动表面曲线还是悬链线。
是因为单位悬链线以顶点为渐开点的渐开线是单位曳物线，大家又知道单位曳物线的切线与x轴的交点到切点的距离为定值\(d=1\)。

而由于正三角形、正五角星形都是相似的，所以传动表面曲线还是悬链线，且该曲线可由单位悬链线经相似变换得来！


其实，并非正多边形才有这样的传动表面，还有许多多边形可以有这样的传动表面。
长方形可以有这样的传动表面
内角大于90degree的等边多边形
正方形拼凑的图形.......




补充内容 (2014-10-3 09:56):
Square_wheel(方轮车):
http://en.wikipedia.org/wiki/Square_wheel
Roulette(旋轮线):
http://mathworld.wolfram.com/Roulette.html
马卡莱斯特学院数学系教授Stan Wagon:
http://en.wikipedia.org/wiki/Stan_Wagon
马卡莱斯特学院数学系教授Stan Wagon的网站：
http://stanwagon.com/
Riding on Square Wheels(骑方轮车)
https://www.sciencenews.org/article/riding-square-wheels

补充内容 (2015-2-18 20:13):
http://bimania.org/2012/11/13/square-wheels/
”二进制狂热“网站http://bimania.org/：让方轮自行车平稳行驶