复变问题

tian27546

朋友问我的俩道复变问题 突然一下子忘怎么解释了

mathe

(1)说明如果我们递归定义$f(z+i)=\lambda f(z)$得到的函数是全平面解析的。这个解析函数满足对于任意z有$f(z+i)=\lambda f(z)$

mathe

设$\lambda=exp(-i h)$我们定义函数$g(z)=exp(h*z)*f(z)$ 于是$g(z+i)=exp(h*z+h*i)f(z+i)=exp(h*z)f(z)=g(z)$ 于是函数g以i为周期。假设$g(0)=c$,于是$g(i*n)=c$对于任意整数n成立。 于是函数$g(z)-c$有零点$n*i$. 而题目相当于问g(z)是否恒等于0和g(z)无零点。这时可以看出不一定， 因为我们可以选择$g(z)=sin(i2\pi z)+c,-1

tian27546

哦 非常感谢管理员大牛 第二题怎么做呢

mathe

证明$f(z)$按照$f(z+2\pi)=f(z)$延拓开来解析即可。 比如我们证明这样定义的函数在$0

tian27546

谢谢mathe指点