复变问题

tian27546

朋友问我的俩道复变问题 突然一下子忘怎么解释了

mathe

(1)说明如果我们递归定义$f(z+i)=\lambda f(z)$得到的函数是全平面解析的。这个解析函数满足对于任意z有$f(z+i)=\lambda f(z)$

mathe

设$\lambda=exp(-i h)$我们定义函数$g(z)=exp(h*z)*f(z)$
于是$g(z+i)=exp(h*z+h*i)f(z+i)=exp(h*z)f(z)=g(z)$
于是函数g以i为周期。假设$g(0)=c$,于是$g(i*n)=c$对于任意整数n成立。
于是函数$g(z)-c$有零点$n*i$.
而题目相当于问g(z)是否恒等于0和g(z)无零点。这时可以看出不一定，
因为我们可以选择$g(z)=sin(i2\pi z)+c,-1<c<1$,这样得到的函数g(z)以i为周期，而且有零点,不恒为零
于是$f(z)=exp(-hz)g(z)$满足题目条件，但是有零点而且不恒为零。

tian27546

哦 非常感谢管理员大牛  第二题怎么做呢

mathe

证明$f(z)$按照$f(z+2\pi)=f(z)$延拓开来解析即可。
比如我们证明这样定义的函数在$0<Re(Z)<4\pi$解析，那么只需要证明这个函数沿着区域里面任意一条闭合简单曲线上曲线积分为0即可。而这个很显然，这条简单曲线会被直线$Re(Z)=2\pi$分成若干段，每段同分界线合并在一起即构成一个区域内的环路，所以研这些环路上积分为0。再将所有这些曲线积分累加，其中分界线上的正好相互抵消，所以得出沿区域内任意一条闭合简单曲线积分为0，所以解析。
所以得出f(z)是周期为$2\pi$的整函数。

tian27546

谢谢mathe指点