摆线的有趣而迷人的性质

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摆线是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线 缓慢地滚动，则圆上一固定点所描出的轨迹称为摆线． 摆线最早可见于公元 1501 年出版的 C•鲍威尔的一本书中．但在 17 世 纪，大批卓越的数学家（如伽利略，帕斯卡，托里拆利，笛卡儿，费尔马， 伍任，瓦里斯，惠更斯，约翰•伯努里，莱布尼兹，牛顿等等）热心于发现 这一曲线的性质．17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣．在这一时期，伴随着许多发现，也 出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象．这 样，作为一种结果，摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海玲” 的标签①． 17 世纪，人们发现摆线具有如下性质： 1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数． 2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍． 3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在 P5 的地方 它甚至是静止的． 4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底 部． 图中每个圆代表旋转圆每转四分之一时的位置．注意从 P1 到 P2 这四分之 一转，要比从 P2 到 P3 这四分之一转短得多．结果，从 P2 到 P3 点必须加速， 以使得在同样长时间内走得更远． 在必须改变方向的地方，如 P5，点处于静止。 有许多与摆线有连带关系的令人迷惘的悖论．其中火车悖论格外引人关 注： ——在任一瞬间，一辆移动的火车绝不可能整个地都朝机车拖动的方向 移动．米车上总有一部分是朝火车运动的相反方向移动！ 这个悖论能够用摆线加以说明．这里形成的曲线称为长幅摆线——该曲 线由旋转轮外沿的固定点描出．下图显示出当火车的车轮向右滚动的时候， 它凸出部分外沿的点，却沿长幅摆线的轨迹向左方向（相反的方向）移动．