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[欣赏] 摆线的有趣而迷人的性质

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发表于 2011-6-13 08:14:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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摆线是数学中众多的迷人曲线之一.它是这样定义的:一个圆沿一直线 缓慢地滚动,则圆上一固定点所描出的轨迹称为摆线.
摆线的有趣而迷人的性质1.jpg

摆线最早可见于公元 1501 年出版的 C•鲍威尔的一本书中.但在 17 世 纪,大批卓越的数学家(如伽利略,帕斯卡,托里拆利,笛卡儿,费尔马, 伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰•伯努里,莱布尼兹,牛顿等等)热心于发现 这一曲线的性质.17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣.在这一时期,伴随着许多发现,也 出现了众多有关发现权的争议,剽窃的指责,以及抹煞他人工作的现象.这 样,作为一种结果,摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海玲” 的标签①.
17 世纪,人们发现摆线具有如下性质:
1.它的长度等于旋转圆直径的 4 倍.尤为令人感兴趣的是,它的长度是
一个不依赖于π的有理数.
2.在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍.
3.圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度——事实上,在 P5 的地方
它甚至是静止的.
4.当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底
部.

摆线的有趣而迷人的性质2.jpg

图中每个圆代表旋转圆每转四分之一时的位置.注意从 P1 到 P2 这四分之 一转,要比从 P2 到 P3 这四分之一转短得多.结果,从 P2 到 P3 点必须加速, 以使得在同样长时间内走得更远.
在必须改变方向的地方,如 P5,点处于静止。
有许多与摆线有连带关系的令人迷惘的悖论.其中火车悖论格外引人关 注:
——在任一瞬间,一辆移动的火车绝不可能整个地都朝机车拖动的方向 移动.米车上总有一部分是朝火车运动的相反方向移动!
这个悖论能够用摆线加以说明.这里形成的曲线称为长幅摆线——该曲 线由旋转轮外沿的固定点描出.下图显示出当火车的车轮向右滚动的时候, 它凸出部分外沿的点,却沿长幅摆线的轨迹向左方向(相反的方向)移动.

摆线的有趣而迷人的性质3.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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