攻防博弈的不同版本和纳什均衡策略

KeyTo9_Fans

转载来源：
https://tieba.baidu.com/p/9663226320

这是一个回合制游戏，每回合都是双方同时出招，主贴有以下4种招式：

吸：获得1能量，若被攻击则游戏结束（对方赢）
轰：消耗1能量并攻击对方，若被攻击有2种版本：同归于尽（游戏以平局结束） 或 攻击抵消（游戏继续）
防：不消耗能量，可以抵御1次攻击
杀：消耗4能量，秒杀对手，若对手也出杀则同归于尽

回贴里给出了纳什均衡解：

1比1：28.9099%概率吸，16.7702%概率轰，54.3196%概率防，胜率50.0000%
2比2：18.6511%概率吸，20.9368%概率轰，60.4121%概率防，胜率50.0000%
3比3：14.7691%概率吸，42.6155%概率轰，42.6155%概率防，胜率50.0000%
1比0：53.2216%概率吸，46.7784%概率轰，00.0000%概率防，胜率76.6108%
2比1：22.9723%概率吸，14.8450%概率轰，62.1826%概率防，胜率65.4366%
3比2：24.5698%概率吸，32.6717%概率轰，42.7585%概率防，胜率67.3283%
2比0：54.3560%概率吸，45.6440%概率轰，00.0000%概率防，胜率89.3242%
3比1：29.6017%概率吸，19.6404%概率轰，50.7579%概率防，胜率80.3596%
3比0:100.0000%概率吸，00.0000%概率轰，00.0000%概率防，胜率100.0000%
1比3：17.2208%概率吸，22.6406%概率轰，60.1145%概率防，胜率19.6404%
0比2：67.6703%概率吸，00.0000%概率轰，32.3297%概率防，胜率23.3892%
2比3：54.3560%概率吸，00.0000%概率轰，45.6440%概率防，胜率10.6758%
1比2：23.5081%概率吸，22.7260%概率轰，53.7659%概率防，胜率34.5634%
0比1：67.6703%概率吸，00.0000%概率轰，32.3297%概率防，胜率23.3892%

我想知道这个解对应的是哪个版本的规则？是否正确无误？

回贴里还有这样的版本：

上子弹，开枪，防御，4发子弹可以发大招(能破防)，消耗1发子弹可以大防(能防大招)，7发子弹可以无视一切秒杀

这个版本的纳什均衡策略是怎样的？

回贴里还有这样的版本：

吸(获得一点能量)
轰(消耗一点能量进行攻击，都攻击则同归于尽)
防(不消耗能量抵挡轰)
反弹(消耗两点能量反弹轰)
击(消耗三点能量，可以杀吸/防/反弹，和轰同归于尽)
恰恰(消耗两点能量，可以杀防/反弹/击，会被轰杀死，对吸没有效果)

这个版本的纳什均衡策略是怎样的？

mathe

对于任意一个局面，很容易算出一个收益矩阵，比如这里显然收益矩阵是4阶的。
比如假设当前局面时a:b,我们计算能量为b的人的收益，每一行代表能量a的人的出招，每一列代表能量b的人的出招，于是收益为

	吸	轰	防	杀
吸	cost(a+1:b+1)	b>=1?1:N/A	cos(a+1:b)	(b>=4）?1:N/A
轰	a>=1?1:N/A	a>=1&&b>=1?(0.5 or cos(a-1:b-1)):N/A	a>=1? cos(a-1:b): N/A	(a>=1&&b>=4）?1:N/A
防	cost(a:b+1)	b>=1?cost(a:b-1):N/A	cos(a:b)	(b>=4）?1:N/A
杀	(a>=4）?1:N/A	(a>=4&&b>=1）?1:N/A	(a>=4）?1:N/A	(a>=4&&b>=4)?0.5:N/A

于是我们知道，对于b<4最多只有三列可选，对于b=0，只有两列可选。而选择的目标是选择各列概率后，做加权平均得到的值，让尽量多行对应的值相等（实际上是希望最小值最大）。
由此就可以得出关于cost的一些方程（当然行多于列的情况，需要分情况讨论）。
然后对各种可能的情况解方程，可以得出对应的各cost