求椭圆x^2/4+y^2=1外一点P(2，3)到椭圆上点的最短距离和最长距离。

wayne

mathe 发表于 2025-4-29 15:43
寻找距离最值都是有理数可能有困难，但是构造最值的平方都是有理数还是很简单，这样的答案其实看上去也是不 ...

可以继续往前推进, 根据这个思路,解方程
$x=\frac{a (u^2-v^2)}{u^2+v^2},y=\frac{b (2 u v)}{u^2+v^2},\frac{b^2 x (\text{y0}-y)}{(a^2 y) (x-\text{x0})}=-1,d^2=(x-\text{x0})^2+(y-\text{y0})^2$,  
解得$x0 =\frac{a (u-v) (u+v)}{u^2+v^2}\pm \frac{b d (v^2-u^2)}{\sqrt{4 a^2 u^2 v^2+b^2 (u^2-v^2)^2}}, y0= 2 u v (\frac{b}{u^2+v^2}\pm \frac{a d}{\sqrt{4 a^2 u^2 v^2+b^2 (u^2-v^2)^2}})$

发现问题等价于讨论这个因子必须是平方数,即 $d^2(4 a^2 u^2 v^2+b^2 (u^2-v^2)^2) = w^2$


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如果已知椭圆上的两个极值点\(A_i=(\frac{a(u_i^2-v_i^2)}{u_i^2+v_i^2},\frac{2bu_iv_i}{u_i^2+v_i^2}), i=1,2\), 那么,
解得椭圆外的点$(x0,y0) = (\frac{(a^2-b^2) (u_1^2-v_1^2) (u_1 u_2-v_1 v_2) (u_2^2-v_2^2)}{a (u_1^2+v_1^2) (u_1 u_2+v_1 v_2) (u_2^2+v_2^2)},\frac{4 u_1 u_2 v_1 v_2 (b^2-a^2) (u_2 v_1+u_1 v_2)}{b (u_1^2+v_1^2) (u_1 u_2+v_1 v_2) (u_2^2+v_2^2)})$

mathe

上面方程等价于存在整数U,V，\(U=2uv, V=u^2-v^2\),使得
\(\begin{cases}a^2U^2+b^2V^2=W^2\\U^2+V^2=S^2\end{cases}\)
两者相乘得到必要条件
\( (a^2U^2+b^2V^2)(U^2+V^2)=(WS)^2\)
两边同时除以\(V^4\),并且记\(X=\frac U V, Y=\frac{WS}{V^2}\),我们得到方程
\(Y^2=(a^2X^2+b^2)(X^2+1)\)
这个等价于椭圆曲线方程，所以可以先求解这个椭圆曲线方程的所有解，然后反推求U,V
当然反推得到的解不一定都满足原始方程，还需要得到\(U^2+V^2\)同\(a^2-b^2\)互素时才满足原题要求。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/467454165

wayne

咱们的目的是 看看 能否设计一个合适的参数, 使得本题存在 有理解, 进而 可以因式分解. 变成 可以 放在 考卷上的题目(因为考卷上的题目出现的不可约多形式/最小代数根式表达最多是二次).

mathe

根据知乎链接，方程可以转化为\(G^2=H^3+uH+v\)
其中\(u=\frac{-27a^4 - 378b^2a^2 - 27b^4}{a^4}, v=\frac{54a^6 - 1782b^2a^4 - 1782b^4a^2 + 54b^6}{a^6}\)
我们需要构造a,b,使得椭圆曲线\(G^2=H^3+uH+v\)有有理解，而且\(a^2+b^2\)的素因子尽量少，这个应该不是特别难。
比如我们可以取a=1,那么在b为下面这些值时，椭圆曲线有无穷组有理解:
7
10
11
12
14
17
19
22
23
27
28
29
30
33
38
39
40
41
42
44
45
47
48
51
52
53
54
57
58
59
61
67
69
74
76
79
80
81
82
83
84
85
88
92
93
96
97
100
于是第一组我们可以选择a=1,b=10,这样a^2+b^2=101是素数，应该后续麻烦少一些。
对应曲线\(G^2=H^3-307827H+36001854\)秩为1，生成元[-165, 9072]
对于a=1,最终
\(\begin{cases}X=\frac{G}{36b^2 + 6H + 36}\\ Y= \pm (x^2 + \frac{b^2}6 -\frac{H}{18} + \frac16)\end{cases}\)
比如利用生成元[-165,9072]可以得到
a=1,b=10, U=24,V=7, W=74, S=25
x=a*V/S, Y=b*U/S
x=7/25,y=10*24/25=48/5， 也就是椭圆x^2+y^2/10=1上点(7/25,48/5)满足要求

wayne

也就是可以设计成这样的题目

求点$(\frac{7}{25}+\frac{35 d}{37},\frac{48}{5}+\frac{12 d}{37})$ 距离椭圆上 $x^2+y^2/10=1$的点的最大值和最小值.

wayne

我重开一个帖子,如果已知椭圆上的两个极值点\(A_i=(\frac{a(u_i^2-v_i^2)}{u_i^2+v_i^2},\frac{2bu_iv_i}{u_i^2+v_i^2}), i=1,2\), 极值处的$u,v$参数需要满足 $d^2(4 a^2 u^2 v^2+b^2 (u^2-v^2)^2) = w^2$.
对于如下方程进行消元,消去$x,y,d$. $x=\frac{a (u^2-v^2)}{u^2+v^2},y=\frac{b (2 u v)}{u^2+v^2},\frac{b^2 x (\text{y0}-y)}{(a^2 y) (x-\text{x0})}=-1,d^2=(x-\text{x0})^2+(y-\text{y0})^2$,  
得到$2 a^2 u v (u-v) (u+v)-2 a u v \text{x0} (u^2+v^2)+b (2 b u v (v^2-u^2)+\text{y0} (u^4-v^4)) = 0$

进而代入两个$u,v$参数得到
解得椭圆外的点$(x0,y0) = (\frac{(a^2-b^2) (u_1^2-v_1^2) (u_1 u_2-v_1 v_2) (u_2^2-v_2^2)}{a (u_1^2+v_1^2) (u_1 u_2+v_1 v_2) (u_2^2+v_2^2)},\frac{4 u_1 u_2 v_1 v_2 (b^2-a^2) (u_2 v_1+u_1 v_2)}{b (u_1^2+v_1^2) (u_1 u_2+v_1 v_2) (u_2^2+v_2^2)})$

笨笨

证明：椭圆外一定点到椭圆上任意一点距离最大距离或最小距离点处的法线必通过椭圆外的定点。