求椭圆x^2/4+y^2=1外一点P(2，3)到椭圆上点的最短距离和最长距离。

笨笨

求椭圆\(\D \frac{x^2}{4} + y^2=1\)外一点P(2，3)到椭圆上点的最短距离和最长距离。

wayne

就是在椭圆上找到一点E,该点处的切线与直线PE垂直.
也就是解方程组, $x^2+4 y^2=4,\frac{x}{4 y} * \frac{3-y}{x-2}=-1$, 解得刚好是椭圆的远点 和椭圆的近点.

距离的最大值是5.12372, 此时椭圆的远点是$(x_{max},y_{max})=(-1.82721,-0.4066)$
距离的最小值是2.34088, 此时椭圆的近点是$(x_{min},y_{min})=(1.18865,0.804224)$

如果代数数表达就是
$x_{min},x_{max}$是方程$9 x^4-48 x^3+64 x^2+192 x-256=0$的根
$y_{min},y_{max}$是方程$-9 - 18 y + 16 y^2 + 18 y^3 + 9 y^4=0$的根

距离的平方的最大值最小值都是$9 x^4-516 x^3+10480 x^2-92608 x+269568$的根.
这个根式表达出来的话,很庞杂,包含了三次方根. 所以笔上计算不现实.

1. min=FullSimplify@Minimize[({x,y}-{2,3})^2//Total,{x,y}\[Element]ImplicitRegion[x^2+4y^2==4,{x,y}]];
   
2. max=FullSimplify@Maximize[({x,y}-{2,3})^2//Total,{x,y}\[Element]ImplicitRegion[x^2+4y^2==4,{x,y}]];
   
3. ContourPlot[x^2+4y^2==4,{x,-2,2},{y,-1,1},AspectRatio->Automatic,Frame->False,Axes->True,
   
4. Epilog->{PointSize[0.04],Point[{2,3}],PointSize[0.03],Red,Point[min[[2,All,2]]],Point[max[[2,All,2]]],Line[{min[[2,All,2]],{2,3}}],Line[{max[[2,All,2]],{2,3}}]},PlotRange->Pi]

复制代码

nyy

问题太水了，一点技术含量都没有。
拉格朗日乘子法学过没？

hujunhua

问题不是太水，而是太基础。基础到没有奇技滛巧可用，得靠通用的基础方法。
这样的题，需要设置精巧的数字来为技巧开门，否则没有意义。

笨笨

wayne 发表于 2025-4-28 19:58
就是在椭圆上找到一点E,该点处的切线与直线PE垂直.
也就是解方程组, $x^2+4 y^2=4,\frac{x}{4 y} * \frac{3 ...

前辈红圈部分多项式是怎么得到的？

wayne

笨笨 发表于 2025-4-29 14:06
前辈红圈部分多项式是怎么得到的？

解三元二次方程本质上就是消元的过程,消去x,y,就能得到关于d的方程

1. Eliminate[{x^2+4y^2==4,x/(4y) (3-y)/(x-2)==-1,d==(x-2)^2+(y-3)^2},{x,y}]

复制代码

笨笨

wayne 发表于 2025-4-29 14:17
解三元二次方程本质上就是消元的过程,消去x,y,就能得到关于d的方程

前辈，怎么证明2楼求得的2个特殊点就是椭圆上任意一点到椭圆外一定点所有距离的最短或最长距离呢？

wayne

hujunhua 发表于 2025-4-29 09:34
问题不是太水，而是太基础。基础到没有奇技滛巧可用，得靠通用的基础方法。
这样的题，需要设置精巧的数字 ...

老胡出马,必须加大难度, 比如咱们可以提问: 在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, (a,b) \in Z^+$所在的平面内,哪些有理点P 与 椭圆的最大最小距离值 也都是 有理数.

mathe

寻找距离最值都是有理数可能有困难，但是构造最值的平方都是有理数还是很简单，这样的答案其实看上去也是不难的。
对于a,b都是正有理数的椭圆，我们可以选择任意两组互素整数参数\(u_1,v_1,u_2,v_2\)
于是有理点\(A_i=(\frac{a(u_i^2-v_i^2)}{u_i^2+v_i^2},\frac{2bu_iv_i}{u_i^2+v_i^2})\)在椭圆上
容易看出这个点处切线和法线方向也都可以用有理数表示，于是它们的法线方程是有理系数方程。
只要两条法线不平行时，它们会相交于一有理点P,那么P点到椭圆距离的最值就分别为\(PA_1,PA_2\),距离的平方显然是有理数。

wayne

根据这个帖子,是可解的
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9789&pid=125087