一个计数问题

mathe

$5n(n+1) * a(n) = 11n(2n-1) * a(n-1) + 3(3n-2)(3n-4) * a(n-2)$ 这个递推式结果比下面一个稍微大一些 $5n(n+1) * b(n) = 11n(2n-1) * b(n-1) + 27(n^2-2n+3/4)*b(n-2)$ 而这个递推式我们可以求出通项公式的

mathe

计算递推式: $5n(n+1) * b(n) = 11n(2n-1) * b(n-1) + 27(n^2-2n+3/4)*b(n-2)$ 得到通项公式为 $b(n)={Gamma(n-1/2)(c_1(27/5)^n+c_2(-1)^n)}/{Gamma(n+1)}~=c'n^{-3/2}(27/5)^n$ 而需要计算的$5n(n+1) * a(n) = 11n(2n-1) * a(n-1) + 3(3n-2)(3n-4) * a(n-2)$的数列比上面的数列b(n)略微大一些。

mathe

上面我们已经知道在初试条件相同的情况下面 $a(n)>=b(n)$ 那么我们现在再看看$a(n)$的上界是不是也可以由$b(n)$来界定 可以看出${a(n)}/{b(n)}<={(n-3/2)(n-3/4)}/{(n-1/2)(n-3/2)} max{{a(n-1)}/{b(n-1)},{a(n-2)}/{b(n-2)}} 所以我们可以得到 ${a(n)}/{b(n)}<={a(1)}/{b(1)}\prod_{t=2}^{n}{(t-3/2)(t-3/4)}/{(t-1/2)(t-3/2)}={a(1)}/{b(1)}\prod_{t=1}^{n-1}(1+{5/36}/{t^2-1/4})$ 而右边显然是有界的。所以我们可以知道存在常数C使得$a(n)<=C*b(n)$

mathe

现在想到了可以加强上面结论的方法，可以证明 $lim_{n->infty}{a(n)}/{b(n)}$这个极限存在了 我们只要证明下面这个比较一般的结论就可以了: 如果$p,q>0$而且$p+q=1$,递推数列$a(0)>0,a(1)>0,a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)+c*u(n)$ 其中$u(n)=O(1/{n^2})$ 求证$lim_{n->infty}a(n)$存在。

mathe

而我们原问题中，${Gamma(n+1)}/{Gamma(n+1/2)}(27/5)^{-n}a(n)$就满足34#形式的递推数列

zgg___

mathe证明了（在34楼帖子的第二行里的）a(n)/b(n)的极限存在，赞…… 可是为什么等于1呢？b(n)是32楼第四行里的b(n)么？不明白呢。呵呵。

mathe

看了一下，上面应该写错了，应该是证明了极限存在，而不是极限为1。 也就是证明了你前面的猜测，但是系数c计算不出来