6 阶模幻方的搜索

hujunhua

@mathe
在emathgroup.github上的六阶模幻方算是一篇blog吧。
我想blog应该是对论坛帖子的整理和提高，建议不要拘于忠实复制。可以调整顺序、有所取舍和丰富。
以这个6阶模幻方为例。
1、我们一开始是没有任何实际数据的，但是后来有了一个很多孔洞的实例，我觉得可以调整顺序，从这个多孔实例开始介绍模幻方的定义，然后提出缩减孔洞的问题。
2、编程中的bug及其结果可以省略掉。
3、跟进论坛帖子的后继变化。后继内容还有一些。在完成所有洞组的去重后，我会逐步介绍模幻方的一些理论问题。包括模空间上的方向概念和定理，模幻方的约束选择与对称性，模幻方坍塌的概念和定理、模幻方的完全坍塌定理等。其中有几个未决问题，未必有多难，只是因为搁置多年没有继续探究。

hujunhua

mathe的数据是按图1放置的，图2是一个实例。

第二主序数，mathe貌似是取的左下角 a_(5, 0）.  注意到导出律一：a_(3,2)+a_(5,0)+a_(1, 4)=0
所以以  a_(5, 0）> a_(1, 4)为判据可以去掉3个镜像重复（以六边形长对角线为轴线，把50分别镜像到3个14）和3个旋转重复（60°，180°，300°，分别把50旋转到3个14）。
注意到导出律二：a_(0, 2)+a(0, 5)+a_(3, 5)+a_(3,2)=0,
所以再以 a_(3, 5) < a_(0, 5) < a_(0, 2) 为判据可以去掉剩下的3个镜像重复和2个旋转重复（120°，240°）。
这两个判据先后使用，可以滤掉11/12的重复。
左图有细圈帮助找坐标。

hujunhua

先按上述方法去掉镜像和旋转重复，得20解

审核这20解的取反重复，发现3、6、7、8、10、11、12、15、16、20 这 10 个的相反数对是平移对称的，因此是取反自对称的。
1 与 9，2 与 14， 4 与 18， 5 与17，13与19 是取反重复的。
4与18， 5与17 ，13与19的相反数对关系很诡异，即我前面所称的分块对称，其实这四个貌似也有某种取反自对称。

hujunhua

前面说的正负镜像对称，只是在某个方向的6行都是镜像对称，但我们发现整体并不是镜像对称。
因为镜像对称的话，镜像线总是要通过格点，而通过镜像线的格点正负对称的话只能取0.
而且镜像线会通过3个格点，会使得总格数为奇数，也与36相矛盾。
以下是所谓的镜像对称二例，{-16,0,16}洞组的。

hujunhua

一、6624个对称数组去重结果汇总：

洞组	频数	去旋转和镜像	取反平移对称	取反中心对称	取反对称对	本原解数
{-2,0,2}	180	15	15	0	0	15
{-4,0,4}	240	20	10	0	5对	15
{-6,0,6}	972	81	37	6	19对	62
{-8,0,8}	540	45	7	0	19对	26
{-10,0,10}	768	64	14	0	25对	39
{-12,0,12}	888	74	49	1	12对	62
{-14,0,14}	312	26	20	2	2对	24
{-16,0,16}	780	65	29	0	18对	47
{-18,0,18}	1944	162	87	3	36对	126
合计	6624	552	268	12	136对	452

二、非对称数组，7个本原解，
所以共是459个本原解。其中取反自对称的为280个.

hujunhua

mathe 给的3孔数组幻方中，第1个就是中心对称幻方（见27楼和34楼），所以最初以为会有很多中心对称幻方的。
没想到最终只有12个。不多则可以全列出来了。

hujunhua

对称幻方虽然多，模式就那两种。不对称的可以想像必是各种各样了。
如何表征、识别各种不对称呢？为了使用程序处理，我们找的是相反数对的中点。
设#是幻方 x 中的一个数，通过计算Position(x,#)+Psition(x,-#)（mod 6）搜索生成中点表.
然后累计各中点被搜到的次数，形成权数表。显然权数之和为18.
排序后的权数表就成为幻方相反数对的分布特征。
两个不同对称分布的幻方，权数表可能不一样，而两个不同权数表的幻方，肯定有不同的对称分布。

例如：中心对称幻方的权数表为{18}, 平移对称幻方的权数表为{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}.

注意我们计算中点坐标时没有除以2，而模仍然取的是6。原因如下：
如34#所示，由于周期性，每对相反数实际上有4个中点，这4个中点扩展铺开形成的网格周期为3。
因此如果中点坐标不除以2，则把这四个中点的权数合并（视为同一个）时需要取模6.

以下是M10程序生成的去掉旋转和镜像重复和平移对称后的282个本原解的权数表的频数。

我们看到有3个权数表的频数为2，表明按这种对称分布的幻方各只有一对（取反重复）。
权数表最短的{18}，显然就是中心对称的了。
权数表为{6,6,6}的就是所谓“镜像对称”。
权数表为6个2并6个1的频数最大，达112，表明这是一种典型分布，虽不如中心对称和平移对称简单，应该也是一种很有规律的分布。
权数表为9个2的与平移对称的权数表一样，但显然两者不同。说明权数表有丢失信息，可能合并了不同的分布细类。

中点权数表的合并横放版

hujunhua

既然中点权数表不能完全区分幻方相反数偶的分布，我们再寻找一种表征：向量表。
# 是幻方 x 中的一个数，相反数偶的向量= Position(x, #)-Position(x, -#)(mod 6, -2)
注：(mod 6, -2)表示取模6的绝对值最小剩余，即剩余系取 {-2, -1, 0, 1, 2, 3).
统计向量权重时，方向相反的等长向量合并计权，然后将所得权重除以2。
去除旋转和镜像对称后的552个幻方的相反数偶向量表统计频数如下：

显然，{向量, 权重} 表最短的{{3, 0}, 18}即平移对称幻方，它的18个相反数偶向量均相同。
程序计算结果中，包括{{3, 0}, 18} 和 {{3, 3}, 18}两种形式，实为同一种分布，旋转120°而已。
程序并不排除{{0, 3}, 18}, 但却没有发现，那就是竟然在旋转、镜像去重中都滤掉了。
那个频数为12的{向量, 权重} 表，即属中心对称幻方。

hujunhua

从中点权重表与相反数偶向量表的频数并不能一一对应。
已经验证的一一对应关系有三项：
1、平移对称
2、中心对称
3、频数为112者，说明这种不再细分了。

剩下的向量表有一个频数为72，超过了剩下的中点权重表中的最大频数。可见向量表也不能完全区分相反数偶的分布。
也许把两都交叉起来，就比较确定了。