求最大值的通项公式

王守恩

\(①,已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,求k\cdot\cos(a)-\cos(k\cdot a)最大值的通项公式(用k来表示)。\)

\(②,已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,求k\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值的通项公式(用k来表示)。\)

两道题, 我连一道也做不好。求助。谢谢各位！

王守恩

\(①,已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,求k\cdot\cos(a)-\cos(k\cdot a)最大值的通项公式(用k来表示)。\)

\(答:已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,k\cdot\cos(a)-\cos(k\cdot a)最大值=(k+1)\cdot\cos(\frac{\pi}{k+1})。\)

\(譬如: 5\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值=(5+1)\cdot\cos(\frac{\pi}{5+1})=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}。\)

\(说明:k可以是任意正实数,公式不变。\)

王守恩

\(②,已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,求k\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值的通项公式(用k来表示)。\)

\(答:已知k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,k\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值=\sqrt{\bigg(\frac{\sqrt{25+4k}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\bigg)^2 \bigg(\frac{\sqrt{25+4k}+3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\bigg)^3}\)

\(当然,这"5"可以换,不过这"公式"要改一下。\)

王守恩

简单才是好方法。

\(设函数f(x)=5\cos(x)-\cos(5x),求f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]的最大值。\)

\(5\cos(x)-\cos(5x)=5\cos(x)+\cos(\pi-5x)=5\cos(\frac{\pi}{6})+\cos(\frac{\pi}{6})=6\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})=3\sqrt{3}\)

\(最大值在x+5x=\pi时取得。\)

王守恩

\(设函数f(x)=k\cdot\cos(x)-\cos(n\cdot x),k>0,n\in N,求f(x)在[0,\frac{\pi}{2}]最大值的通项公式。\)

gxqcn

求导，解三角方程，稍加注意取值范围即可。

4# 的结果即便正确，并不代表过程正确，只是碰巧而已。

王守恩

接 5#。

\(函数f(x)=k\cdot\cos(x)-\cos(n\cdot x),k>0,n\in N,求f(x)在[0,\frac{\pi}{2}]最大值的通项公式。\)

\(若k>n^2,k\cdot\cos(x)-\cos(n\cdot x)最大值=k-1\)

\(若k≤n^2,k\cdot\cos(x)-\cos(n\cdot x)最大值=k\cdot t-T_{n}(t)\cos(x)\)

\(其中t是方程U_{N-1}(t)=\frac{k}{n}在[0,1]上的最大实数解。\)

\(T_{n}与U_{n-1}分别为第一类与第二类切比雪夫多项式。\)

​切比雪夫多项式可通过标准定义或递推关系计算。

\(T_{0}(t)=1,T_{1}(t)=t, T_{n}(t)=2tT_{n−1}(t)−T_{n−2}(t)。\)

\(U_{0}(t)=1,U_{1}(t)=2t, U_{n}(t)=2tU_{n−1}(t)−U_{n−2}(t)。\)

该公式适用任意正整数 n, 且与具体 n 值(如 n = 1, 2, 3, 4, 5(详见3#), 6, 7, 8, 9)的已知结果一致。

王守恩

\(2\cos(x)-\cos(2x)最大值=2\cos(x)+\cos(\pi-2x)=2\cos(\frac{\pi}{3})+\cos(\frac{\pi}{3})=3\cdot\cos(\frac{\pi}{3})\)

\(3\cos(x)-\cos(3x)最大值=3\cos(x)+\cos(\pi-3x)=3\cos(\frac{\pi}{4})+\cos(\frac{\pi}{4})=4\cdot\cos(\frac{\pi}{4})\)

\(4\cos(x)-\cos(4x)最大值=4\cos(x)+\cos(\pi-4x)=4\cos(\frac{\pi}{5})+\cos(\frac{\pi}{5})=5\cdot\cos(\frac{\pi}{5})\)

\(5\cos(x)-\cos(5x)最大值=5\cos(x)+\cos(\pi-5x)=5\cos(\frac{\pi}{6})+\cos(\frac{\pi}{6})=6\cdot\cos(\frac{\pi}{6})\)

\(6\cos(x)-\cos(6x)最大值=6\cos(x)+\cos(\pi-6x)=6\cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{\pi}{7})=7\cdot\cos(\frac{\pi}{7})\)

\(7\cos(x)-\cos(7x)最大值=7\cos(x)+\cos(\pi-7x)=7\cos(\frac{\pi}{8})+\cos(\frac{\pi}{8})=8\cdot\cos(\frac{\pi}{8})\)

\(8\cos(x)-\cos(8x)最大值=8\cos(x)+\cos(\pi-8x)=8\cos(\frac{\pi}{9})+\cos(\frac{\pi}{9})=9\cdot\cos(\frac{\pi}{9})\)

王守恩

\(绕了一圈,这个"5"有特色。宠一下。\)

\(已知:25>k>0,\frac{\pi}{2}>a>0,求:k\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值的通项公式(用k来表示)。\)

\(答:k\cdot\cos(a)-\cos(5\cdot a)最大值=\sqrt{\bigg(\frac{\sqrt{25+4k}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\bigg)^2 \bigg(\frac{\sqrt{25+4k}+3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\bigg)^3}\)

\(这"5"的公式可以换一下吗？好看一点。\)

\(又,"5"换成"4","6","7","8","9",\cdots\cdots就没有这类似"公式"了?!不可能吧?!\)