请教这道立体几何题可以用纯几何做出来吗？

祺祺朋友王星河

原题：已知四棱锥T- ABC D的底面是平行四边形,平面a与直线AD，TA, TC分别交于点P, Q, R。AP/AD＝TQ/TA=CR/CT＝x，点M在直线TB，N为CD的中点，且直线MN//平面α。
求证:对所有满足条件的平面a，点M都落在某一条长为√5/2TB的线段上。
注1：我认为原题叙述略有不严谨，应该叙述为向量AP＝x向量AD，向量TQ＝x向量TA等。因为如果只是按照原题连等式长度计算，就会出现向量AP、TQ、CR中三个之一或之二和对应向量反向，其它同向的情况，这样会出现不符合题中所求证的情况(比较明显的是一点或两点在形内，其它点在形外的情况)。而且答案里出现了x是负数的情况，也说明了出题人本义是要求三对向量同向。
2、向量方法我会，且两种不同的向量法做出来的函数关系很别扭，但我一直非常纠结有无纯几何方法。那怕只讨论x∈【0，1】的形内情况。(即使只讨论形内情况，平面的运动轨迹用纯几也比较难分析。用向量法看，x＝0和1的时候λ分别是-1/2和+1/2，但中间还有一个λ＝√5/4)。尝试平移但仍然失败。请教AI，但AI也只给了向量法。
3、我在贴吧和知乎上也请教了这个问题，这题最开始是在原创力文档里的一套高中立几难题扩展里找到的(上面“原题”题目也搬于此）。有热心吧友查找到、指出这题是1984年保加利亚数学竞赛原题，并又指出在命题人讲座的《平面向量与立体几何》p98可以找到。

祺祺朋友王星河

形外情况(x＜0或x＞1）更难用纯几何分析了。想贴图，但可惜贴不上

祺祺朋友王星河

题目；向量法答案；AI的向量法答案(本来让它用纯几何做，但它还是用向量法做了，而且它用向量法还只算了形内情况)
继续求纯几何做法。好久了这题一直没有纯几何做法，求求大家。

祺祺朋友王星河

我在贴吧上向一位热爱立几的吧友“某科学的冫”请教了这道题。他（她）回复说“直觉告诉我PQR包络一二次曲面(也可能错误)，纯几可能可以通过分析该二次曲面的切面来解，可惜我缺少立几高等方面的知识”。（没办法贴截图）
不知道论坛里有没有神人能帮我想出这道题的纯几解法

祺祺朋友王星河

https://tieba.baidu.com/p/10144753334?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.91.1.0&st=1761137504&is_video=false&unique=404A5C49ADF600F148293E60534AF56C
终于获得纯几方法了！