请教这道立体几何题可以用纯几何做出来吗？

祺祺朋友王星河

原题：已知四棱锥T- ABC D的底面是平行四边形,平面a与直线AD，TA, TC分别交于点P, Q, R。AP/AD＝TQ/TA=CR/CT＝x，点M在直线TB，N为CD的中点，且直线MN//平面α。
求证:对所有满足条件的平面a，点M都落在某一条长为√5/2TB的线段上。
注1：我认为原题叙述略有不严谨，应该叙述为向量AP＝x向量AD，向量TQ＝x向量TA等。因为如果只是按照原题连等式长度计算，就会出现向量AP、TQ、CR中三个之一或之二和对应向量反向，其它同向的情况，这样会出现不符合题中所求证的情况(比较明显的是一点或两点在形内，其它点在形外的情况)。而且答案里出现了x是负数的情况，也说明了出题人本义是要求三对向量同向。
2、向量方法我会，且两种不同的向量法做出来的函数关系很别扭，但我一直非常纠结有无纯几何方法。那怕只讨论x∈【0，1】的形内情况。(即使只讨论形内情况，平面的运动轨迹用纯几也比较难分析。用向量法看，x＝0和1的时候λ分别是-1/2和+1/2，但中间还有一个λ＝√5/4)。尝试平移但仍然失败。请教AI，但AI也只给了向量法。
3、我在贴吧和知乎上也请教了这个问题，这题最开始是在原创力文档里的一套高中立几难题扩展里找到的(上面“原题”题目也搬于此）。有热心吧友查找到、指出这题是1984年保加利亚数学竞赛原题，并又指出在命题人讲座的《平面向量与立体几何》p98可以找到。

祺祺朋友王星河

形外情况(x＜0或x＞1）更难用纯几何分析了。想贴图，但可惜贴不上