在三角形ABC中，sinAsinBsin2C的最大值是什么？

王守恩

不好玩！找个慢慢长大的——在三角形ABC中, Sin[k*A]*Sin[B]*Sin[B]的最大值是什么？ 其中: A + B + B = Pi。 k = 1,2,3,4,5,6,...


Sin[k*A]*Sin[B]*Sin[B]的最大值=\(\D\sin\big(k*\frac{2k^2*\pi}{4k^2+2}\big)*\sin\big(\frac{(k^2+1)\pi}{4k^2+2}\big)*\sin\big(\frac{(k^2+1)\pi}{4k^2+2}\big)\)

nyy

王守恩 发表于 2025-11-16 18:27
不好玩！找个慢慢长大的——在三角形ABC中, Sin[k*A]*Sin*Sin的最大值是什么？ 其中: A + B + B = Pi。 k = ...

过程！
怎么得到的？

王守恩

回复6楼——A,B,C的通项公式——在三角形ABC中, Sin[k*A]*Sin[k*B]*Sin[k*C]的最大值是什么？ 其中: A + B + C = Pi。 k = 1,2,3,4,5,6,...


Sin[k*A]Sin[k*B]Sin[k*C]的最大值=\(\D\sin\big(k*\frac{GCD(k,k+2)\pi}{3k}\big)\sin\big(k*\frac{(3k-GCD(k,k+2))\pi}{6k}\big)\sin\big(k*\frac{(3k-GCD(k,k+2))\pi}{6k}\big)\)。其中:\(\frac{GCD(k,k+2)\pi}{3k}+\frac{(3k-GCD(k,k+2))\pi}{6k}+\frac{(3k-GCD(k,k+2))\pi}{6k}=\pi\)

Jack315

\(f(A,B)=\sin{A}\sin{B}\sin{[2(\pi-A-B)]}=-\sin{A}\sin{B}\sin{[2(A+B)]}\)
\(\frac{\partial}{\partial A}f(A,B)=-\sin{B}\{\cos{A}\sin{[2(A+B)]}+2\sin{A}\cos{[2(A+B)]}\}=0\)
\(\frac{\partial}{\partial B}f(A,B)=-\sin{A}\{\cos{B}\sin{[2(A+B)]}+2\sin{B}\cos{[2(A+B)]}\}=0\)
容易验证：\(\sin{A}=0\) 或 \(\sin{B}=0\) 对应的不是 \(f(A,B)\) 的最大值。因而上述方程组成为：
\(\tan{[2(A+B)]}=-2\tan{A}\)
\(\tan{[2(A+B)]}=-2\tan{B}\)
由此得出 \(A=B\) 和 \(\tan{(4A)}=-2\tan{A}\) 。
\(\tan{(4A)}=\frac{4\tan{A}(1-\tan^2{A})}{(1-\tan^2{A})^2-4\tan^2{A}}\)
令 \(x=\tan{A}\)，则 \(\tan{(4A)}+2\tan{A}=0\rightarrow x^4-8x^2+3=0\)
对应 \(f(A,B)\) 最大值的解为 \(x=\sqrt{4+\sqrt{13}}\)，即 \(A=B=\tan^{-1}(\sqrt{4+\sqrt{13}})\)
\(\sin^2{A}=\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{4+\sqrt{13}}{5+\sqrt{13}}\)
\(\sin{(4A)}=x(1-x^2)(\frac{2}{1+x^2})^2=-2\sqrt{4+\sqrt{13}}\frac{3+\sqrt{13}}{19+5\sqrt{13}}\)
\(f(A,B)_{max}=-\sin^2{A}\sin{(4A)}=\frac{5\sqrt{13}-1}{54}\sqrt{4+\sqrt{13}}\)

nyy

Jack315 发表于 2025-11-17 19:13
\(f(A,B)=\sin{A}\sin{B}\sin{[2(\pi-A-B)]}=-\sin{A}\sin{B}\sin{[2(A+B)]}\)
\(\frac{\partial}{\partial ...

你比人工智能聪明！
人工智能做不了这个题目

王守恩

1. Maximize[{Sin[A] Sin[B] Sin[2 C], A + B + C == Pi, Pi > A > 0, Pi > B > 0, Pi > C > 0}, {C, B, A}] // FullSimplify // ToRadicals

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{Sqrt[587/1458 + (143 Sqrt[13])/1458], {C -> 2 ArcTan[Sqrt[1/3 (4 - Sqrt[13])]], B -> 2 ArcTan[Sqrt[1/3 (11 - 2 Sqrt[13] - 2 Sqrt[41 - 11 Sqrt[13]])]], A -> Pi - 2 ArcTan[Sqrt[1/3 (11 - 2 Sqrt[13] + 2 Sqrt[41 - 11 Sqrt[13]])]]}}

1. N[Maximize[{Sin[A] Sin[B] Sin[2 C], A + B + C == Pi, Pi > A > 0, Pi > B > 0, Pi > C > 0}, {C, B, A}], 20]

复制代码

{0.86961899497856993655, {C -> 0.69572085186308774116, B -> 1.2229359008633527487, A -> 1.2229359008633527487}}

做题目不能一道一道的做——找个慢慢长大的——在三角形ABC中, Sin[k*A]*Sin[B]*Sin[B]的最大值是什么？ 其中: A + B + B = Pi。 k = 1,2,3,4,5,6,...

Sin[k*A]*Sin[B]*Sin[B]的最大值=\(\displaystyle\sin\big(k*\frac{2k^2*\pi}{4k^2+2}\big)*\sin\big(\frac{(k^2+1)\pi}{4k^2+2}\big)*\sin\big(\frac{(k^2+1)\pi}{4k^2+2}\big)\)