如何使用圆和抛物线求解三次方程？

mathe

上面方法会导致对于某些a,b,c无法求解，我们改为要求
\((wx^2+sx+t)^2=-(x^2-ux-v)\)总是存在解x=1,代入后得到\(u=(w+s+t)^2+1-v\)
由此，得到额外要求
\(\begin{cases}a=1+\frac{2s}w\\
b=1+\frac{2(s+t)}w+\frac{s^2+1}w\\
c=\frac{v-t^2}{w^2}\end{cases}\)
也就是可以任意选择w,然后选择
\(\begin{cases}s=\frac{(a-1)w}2\\
t=\frac{(b-1)w-\frac{s^2+1}w-2s}2\\
v=cw^2+t^2\\
u=(w+s+t)^2+1-v\end{cases}\)

wayne

如果是mathe的设参,$x^2 + y^2 = u x + v, y = w x^2 + s x + t$,可以直接解得

1. Solve[Thread[-2 c^2 CoefficientList[
   
2.      First@GroebnerBasis[{x^2 + y^2 == u x + v,  y == w x^2 + s x + t}, {}, {y}], x] ==
   
3.    CoefficientList[(x - a) (-1 - 4 x + 4 x^2 + 8 x^3), x]], { w, s, t,u, v}]

复制代码

\[\left\{w\to \frac{2}{c},s\to \frac{1-2 a}{2 c},t\to \frac{-4 a^2-4 a-4 c^2-9}{16 c},u\to \frac{8 a^3+4 a^2+8 a c^2-18 a-4 c^2-1}{16 c^2},v\to \frac{16 a^4+32 a^3+32 a^2 c^2+88 a^2+32 a c^2-56 a+16 c^4+72 c^2+81}{256 c^2}\right\}\]

Yi_Zhi_OIer

新问题：圆和椭圆交点是什么？如何解决三次甚至四次方程？

kastin

代数方程组求解最终还得消元得到一元高次方程求解。直接用余弦的n倍角公式\[\cos nx=n\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2 \rfloor}(-1)^k\frac{(2n-2k-2)!!}{(2k)!!(n-2k)!}\cos^{n-2k}x\]令`n=7`，`x=\D\frac{2\pi}{7}`，`z=\cos \D\frac{2\pi}{7}`，则可得到关于`z`的多项式方程。