如何使用圆和抛物线求解三次方程？

Yi_Zhi_OIer

我发现使用圆和抛物线可以解出来一些三次方程的解，例如 $x^3-2=0$ 的解是 $x^2+y^2=5$ 和 $y = x^2+x-1$ 的交点之一 x 轴。我请问
1）如何利用这种方法求出 $cos(\frac{2\pi}{7})$
2）如何给出三次方程圆抛物线通解？

Yi_Zhi_OIer

这个是图

Yi_Zhi_OIer

额，$cos(\frac{2\pi}{7})$ 解出来了，但是有点恶心



请问有没有更简洁的解？

wayne

$cos(\frac{2\pi}{7})$对应的最小多项式是$-1 - 4 x + 4 x^2 + 8 x^3=0$, 所以,待定系数法就可.  比如咱们就设$x^2 + y^2 = a,  y = b x^2 + c x + d$

1. GroebnerBasis[{-1 - 4 x + 4 x^2 + 8 x^3 == 0, x^2 + y^2 == a^2,  y == b x^2 + c x + d}, {}, {x, y}]

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得到

1. -64+1536 a-5120 a^2+4096 a^3-80 b^2+1728 a b^2-3328 a^2 b^2-24 b^4+416 a b^4-b^6+64 b c-1024 a b c+4096 a^2 b c+16 b^3 c+320 a b^3 c+8 b^5 c-192 c^2+3072 a c^2-5120 a^2 c^2-32 b^2 c^2-1088 a b^2 c^2-8 b^4 c^2+128 b c^3-1024 a b c^3-48 b^3 c^3-192 c^4+1536 a c^4+48 b^2 c^4+64 b c^5-64 c^6-384 b d+6144 a b d-10240 a^2 b d-320 b^3 d+3456 a b^3 d-48 b^5 d+512 c d-1024 a c d+4096 a^2 c d+832 b^2 c d-1280 a b^2 c d+208 b^4 c d-512 b c^2 d-3072 a b c^2 d+192 b^3 c^2 d+1024 c^3 d-1024 a c^3 d-704 b^2 c^3 d-128 b c^4 d+512 c^5 d-1536 d^2+10240 a d^2-12288 a^2 d^2-2496 b^2 d^2+12800 a b^2 d^2-736 b^4 d^2+3072 b c d^2-10240 a b c d^2+1088 b^3 c d^2-2048 c^2 d^2+2048 a c^2 d^2+1856 b^2 c^2 d^2-2048 b c^3 d^2-512 c^4 d^2-6144 b d^3+20480 a b d^3-3968 b^3 d^3+1024 c d^3-8192 a c d^3+3328 b^2 c d^3+5120 b c^2 d^3-3072 c^3 d^3-5120 d^4+12288 a d^4-9472 b^2 d^4+6144 b c d^4+3072 c^2 d^4-10240 b d^5+4096 c d^5-4096 d^6=0

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Yi_Zhi_OIer

所以解是什么？

Yi_Zhi_OIer

我是搞出 $(x-a)^2+y^2=r^2$ 和 $y=x^2+px+q$ 的解，然后待定系数 $(x^3+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{1}{8})(x-n)$

Yi_Zhi_OIer

n没选好的后果：r^2=10289/16384

wayne

Yi_Zhi_OIer 发表于 2025-12-10 22:17
我是搞出 $(x-a)^2+y^2=r^2$ 和 $y=x^2+px+q$ 的解，然后待定系数 $(x^3+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{ ...

对于你这种结构,可以得到参数表达

1. sol = Solve[
   
2.   Thread[tt CoefficientList[
   
3.       First@With[{c = 1},
   
4.         GroebnerBasis[{(x - a)^2 + y^2 == r,
   
5.           y == x^2 + p x + q}, {}, {y}]], x] ==
   
6.     CoefficientList[(x - t) (-1 - 4 x + 4 x^2 + 8 x^3), x]], {a, r, p,
   
7.     q}, {tt}]

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\[\left\{a\to \frac{1}{128} \left(8 t^3+4 t^2+14 t-17\right),r\to \frac{64 t^6+64 t^5+496 t^4+352 t^3+3516 t^2+676 t+10289}{16384},p\to \frac{1}{4} (1-2 t),q\to \frac{1}{32} \left(-4 t^2-4 t-25\right)\right\}\]

wayne

如果是待定系数$x^2 + y^2 = r, y = a x^2 + p x + q$的类型,就是椭圆曲线了,可以得到下面几个解\[\begin{array}{l}
\left\{r\to \frac{13}{16},a\to 2,p\to 1,q\to -\frac{3}{4}\right\} \\
\left\{r\to \frac{6865}{64},a\to 20,p\to -8,q\to -\frac{105}{8}\right\} \\
\left\{r\to \frac{607944493}{742671504},a\to \frac{1602}{757},p\to \frac{729}{757},q\to -\frac{20915}{27252}\right\} \\
\left\{r\to \frac{2220925039744321}{81862540075264},a\to \frac{54664}{565487},p\to -\frac{64}{565487},q\to -\frac{47127201}{9047792}\right\} \\
\left\{r\to \frac{1329619283374819448570221}{1599928641558077123349904},a\to \frac{798467074}{415533133},p\to \frac{440711081}{415533133},q\to -\frac{940043889939}{1264882856852}\right\} \\
\left\{r\to \frac{33852974569307598876316120054312273}{2754244012953884009677511589347904},a\to \frac{6448061409732}{962881474463},p\to -\frac{2529910478376}{962881474463},q\to -\frac{231706265855621545}{52480891884131352}\right\} \\
\left\{r\to \frac{136012255376276809753966586460404132189847867085}{159929979485700116511067024961976823200186440464},a\to \frac{410128021153323970}{180174187632617641},p\to \frac{170858712937892273}{180174187632617641},q\to -\frac{318587984802078832837155}{399912464779106524551908}\right\} \\
\end{array}\]

比如第一个就是 $x^2 + y^2 = 13/16, y = -3/4 + x + 2 x^2$

mathe

我们通常是反过来，通过将二元二次方程组一个变量消元，转为为3次或4次方程来求解。因为多项式容易解决，多变量方程组不好计算。
不过用圆和抛物线进行替换后，本质上得到是四次方程（只是你这里有一个一次分式正好可以分解出去）。
要这么构造也不难，比如对于三次方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)
我们先假设有一个圆方程\(y^2+x^2-ux-v=0\),和抛物线方程\(y=wx^2+sx+t\)
我们的目标是能够消掉一个一次项，而代入y以后方程变化为\((wx^2+sx+t)^2=-(x^2-ux-v)\),这个暗示我们应该选择\(wx^2+sx+t\)和\(x^2-ux-v\)有公因式。
假设公因式为x-d， 于是圆的方程变为\(y^2+(x-d)(x-e)=0\), 抛物线方程为\(y=w(x-d)(x-f)\), 代入后消去x-d变化为三次方程\( w^2*(x-d)*(x-f)^2+x-e=0\)
于是得出\(a=-d-2f, bw^2=(2*f*d + f^2)*w^2 + 1, cw^2=(-f^2*d*w^2 - e)\)
也就是\(d=-a-2f\),而且要求e,f,w满足
\(b+2af+3f^2=(\frac1w)^2\)而且\(e=w^2(c-f^2a-2f^3)\)
很显然这里主要问题在找到f和w满足第一个方程，其中要求
\((\frac1w)^2-3(f+\frac a3)^2=b-\frac{a^2}3\), 所以关键就是看这个方程是否有有理解。当然实数解总是存在的。