谁最大

Gongwen0519

数论爱好者 发表于 2025-12-29 22:04
2^234与5^100谁最大

这样行么？

$$
\frac{2^{234}}{5^{100}}=\frac{2^{230}\times 2^4}{\frac{10^{100}}{2^{100}}}=\frac{2^{330}\times 2^4}{10^{100}}=\frac{\left( 2^{10} \right) ^{33}\times 2^4}{10^{100}}=\frac{1024^{33}\times 16}{10^{100}}
$$
$$
\ \ \ \ >\frac{\left( 10^3 \right) ^{33}\times 16}{10^{100}}=\frac{10^{99}\times \left( 10+6 \right)}{10^{100}}>1.6
$$

实际上：
$$
\frac{2^{234}}{5^{100}}=\frac{27606985387162255149739023449108101809804435888681546220650096895197184}{7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625}\approx 3.4996011596528190789960035633882...
$$

数论爱好者

Gongwen0519 发表于 2025-12-30 13:45
这样行么？
$$
\frac{2^{234}}{5^{100}}=\frac{2^{230}\times 2^4}{\frac{10^{100}}{2^{100}}}=\frac{2^{ ...

ln2与2/e谁最大
泰勒展开式和积分这两种方法而外,在高中范围内找一种方法

uk702

数论爱好者 发表于 2025-12-30 15:29
ln2与2/e谁最大
泰勒展开式和积分这两种方法而外,在高中范围内找一种方法 ...

e < 2+1/2+1/6+1/12 = 2+3/4 = 2.75
2^(1/8)=1.0905...<1.0906, log(2)=8*log(1.0906)<8*0.0906<0.725
e*log(2) < 2.75 * 0.725 = 1.9935

还不如瞪眼，e = 2.71828... < 2.72， log(2) = 0.6931... < 0.7
e*log(2) < 2.72 * 0.7 = 1.904

northwolves

$\frac{2^{234}}{5^{100}}=\frac{2^{334}}{10^{100}}=\frac{32}{10}*\frac{2^{329}}{10^{99}}>\frac{32}{10}*\frac{10^{329lg2}}{10^{99}}>\frac{32}{10}*10^{329*0.301-99}=\frac{32}{10}*10^{0.029}>3.2$