谁最大

数论爱好者

潜水太久了,出来冒个泡
有一个集合:[1^100,2^99,3^98,......,99^2,100^1],共100个数,谁最大?
若是扩展到10万个数,怎么求?[1^100000,2^99999,3^99998,......,99999^2,100000^1]

northwolves

$10^k以内n^{10^k+1-n}最大的n值分别为：

${7,77,837,8769,90189,918736,9307843,93979762,946780045,9523405044,95686854116,960624360872,9637881091963,96648830677021,968819016685903,9708506141071503,97263676870828130,974219103196161752,9756303803724556811,97689673243142583164,978039251419308823808,9790751441778317784513,98001858450521704703148,980881351055077878130359,9816733111588654790594097,98240279221725707608693035,983076869942603088852420587,9837015943463553033346988826,98428216858303226749851799790,984823091717439728454228050936,9853282736138971164470713297271,98580112808703399891663735853584,986244648957888023452487487105465,9866614725605579161598624053828065,98705392942975291547061344206827090,987424087289255595162004326699435467,9877737870001179636177062567326929040,98810467277596651559886049110914917488,988418217702857196192975782149157856373,9887157453922397660950908963114396554690}

数论爱好者

northwolves 发表于 2025-12-28 07:11
$10^k以内n^{10^k+1-n}最大的n值分别为：

${7,77,837,8769,90189,918736,9307843,93979762,946780045,9523 ...

你这个值可能不是最大的,此题看似简单,但可能杀鸡还要宰牛刀,要用导数的理论,求导数.至于为什么要对101求导,得23.5这个值没有整明白
24^77远比10^77大许多,是107位数

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-12-28 08:33
你这个值可能不是最大的,此题看似简单,但可能杀鸡还要宰牛刀,要用导数的理论,求导数.至于为什么要对101求 ...

实际是求x^(101-x)的导数,24这个数接近素数分布,大胆一点1001时是不是168附近呢?实际算了一下x^(1001-x)得x=164,168误差还是打了一点.

王守恩

共1个数。最大=1^1。a(1)=1,
共2个数。最大=2^1。a(2)=2,
共3个数。最大=2^2。a(3)=2,
共4个数。最大=3^2。a(4)=3,
共5个数。最大=3^3。a(5)=3,
共6个数。最大=3^4。a(6)=3,
共7个数。最大=4^4。a(7)=4,
共8个数。最大=4^5。a(8)=4,
共9个数。最大=4^6。a(9)=4,
共10个数。最大=4^7。a(10)=4,
共11个数。最大=5^7。a(11)=5,
共12个数。最大=5^8。a(12)=5,
共13个数。最大=5^9。a(13)=5,
共14个数。最大=6^9。a(14)=6,
共15个数。最大=6^10。a(15)=6,
共16个数。最大=6^11。a(16)=6,
共17个数。最大=6^12。a(17)=6,
共18个数。最大=7^12。a(18)=7,
共19个数。最大=7^13。a(19)=7,
共20个数。最大=7^14。a(20)=7,
共21个数。最大=7^15。a(21)=7,
共22个数。最大=8^15。a(22)=8,
共23个数。最大=8^16。a(23)=8,
共24个数。最大=8^17。a(24)=8,
共25个数。最大=8^18。a(25)=8,
共26个数。最大=9^18。a(26)=9,
共27个数。最大=9^19。a(27)=9,
共28个数。最大=9^20。a(28)=9,
共29个数。最大=9^21。a(29)=9,
共30个数。最大=10^21。a(30)=10,
共31个数。最大=10^22。a(31)=10,
共32个数。最大=10^23。a(32)=10,

得到一串数——{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15,
15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24}——a(100)=24是第4个24。

n[k_] := MaximalBy[Range[k], #^(k + 1 - #) &][[1]]; Array[n, 100]——共100个数。最大=24^77。a(100)=24,——a(100)=24是第4个24。

n[k_] := MaximalBy[Range[k], #^(k + 1 - #) &][[1]]; Array[n, 1000]——共1000个数。最大=164^837。a(1000)=164,——a(1000)=164是第5个164。

n[k_] := MaximalBy[Range[k], #^(k + 1 - #) &][[1]]; Array[n, 10000]——共10000个数。最大=1232^8769。a(10000)=1232,——a(10000)=1232是第7个1232。

northwolves

数论爱好者 发表于 2025-12-28 09:00
实际是求x^(101-x)的导数,24这个数接近素数分布,大胆一点1001时是不是168附近呢?实际算了一下x^(1001-x) ...

1. $MaxExtraPrecision=300;
   
2. s=Table[First@MaximalBy[#+Range[-3,3],N[(10^k+1-#)Log@#]&]&@Round[x/.Quiet@FindRoot[Log[x]==(10^k+1)/x-1,{x,(10^k+1)/Log[10^k+1]}]],{k,50}]

复制代码

{4,24,164,1232,9812,81265,692158,6020239,53219953,476594958,4313145882,39375639126,362118908035,3351169322977,31180983314095,291493858928498,2736323129171868,25780896803838245,243696196275443165,2310326756857416701,21960748580691177469,209248558221682245629,1998141549478295109629,19118648944922124615677,183266888411345210834941,1759720778274292551909373,16923130057396911150727165,162984056536446963447496701,1571783141696773256850178045,15176908282560270820272242685,146717263861028841521726619645,1419887191296600171387897774077,13755351042111976440330677387261,133385274394420812620552411807741,1294607057024708587760664147132413,12575912710744404519826867116572669,122262129998820343420578494460985341,1189532722403348615387405588294008829,11581782297142803861702784410923827197,112842546077602346524937380080958570493,1100155156718937189840634137058163556349,10732595820670103529892954305508342235133,104764116843420213108339554875496879620093,1023211345080919803918049664261900231245821,9998895270091250685042300793729671065763837,97760223641179364790055858627560214567583741,956282337439765999202469645696651068862103549,9358683676137883172774918549416777271174234109,91630395195227935560214503753849228466124226557,897537288131177446961681610703796474339693428733}

王守恩

得到一串数——{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15,
15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24}——a(100)=24是第4个24。

把第1个数提出来——{1, 2, 4, 7, 11, 14, 18, 22, 26, 30, 35, 39, 44, 48, 53, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97, 102, 107, 113, 118, 123, 129, 134, 140, 145, 151, ——还是挺不错的。

数论爱好者

要的是方法技巧,现实可以用计算器,考试不能.
1.01^100与2谁最大

Gongwen0519

$$
\left( 1+\frac{1}{100} \right) ^{100}>\prod_{k=1}^{100}{\left( 1+\frac{1}{99+k} \right)}=\left( 1+\frac{1}{100} \right) \cdot \left( 1+\frac{1}{101} \right) \cdot \left( 1+\frac{1}{102} \right) \cdot \cdot \cdot \left( 1+\frac{1}{199} \right) =\frac{200}{100}=2
$$
$$
\left( 1+0.01 \right) ^{100}>1^{100}+100\times 0.01+0.01^{100}=2+0.01^{100}>2
$$

数论爱好者

Gongwen0519 发表于 2025-12-29 10:11
$$
\left( 1+\frac{1}{100} \right) ^{100}>\prod_{k=1}^{100}{\left( 1+\frac{1}{99+k} \right)}=\left( 1 ...

2^234与5^100谁最大