曲率随弧长均匀变化的平面曲线

葡萄糖

wayne 发表于 2013-8-26 13:24
根据 极坐标方程。貌似导出的微分方程并不复杂,不过，也难解:
\(\rho '(\theta )^2+\rho (\theta )^2=\frac{1}{A \theta +B}\)...

求以一个函数\(κ(t)\)为曲率的一条平面曲线\(C\)
程序在链接中。
利用平面曲线论基本定理绘制平面曲线的图形:
http://asenalwenger.blog.163.com ... 908520094191134190/
平面曲线论的基本定理告诉我们，只要知道一个连续实函数，则存在一条平面曲线，以这个函数为曲率。下面我提供了一个Maple程式，可以让计算机模拟这个事情。这个程式来源于John Oprea先生的工作。

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2014-6-30 18:43
求以一个函数\(κ(t)\)为曲率的一条平面曲线\(C\)
程序在链接中。
利用平面曲线论基本定理绘制平面曲线 ...

谁会把Maple的程序编成Mathematics的程序
比如说这个（求以一个函数\(κ(t)\)为曲率的一条平面曲线\(C\)）：
http://asenalwenger.blog.163.com ... 908520094191134190/
(PS:Maple程序在博客中)

282842712474

用复数做会简单一些。
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/2403/
设函数方程为$z=z(s)$，s是弧长参数，那么
$$\frac{d^2 z}{ds^2}=i k(s) \frac{dz}{ds}$$
代入$k(s)=2\alpha s$，即
$$\ln \frac{dz}{ds}=i\alpha s^2+C_1$$
即
$$z=\int_0^s C\exp\left(i\alpha t^2\right)dt$$
涉及到了高斯积分了，没有明显表达式了~~，选择C=1，直接就得
$$x=\int_0^s \cos\alpha t^2 dt ,\quad y=\int_0^s \sin\alpha t^2 dt$$