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楼主: hujunhua

[讨论] 曲率随弧长均匀变化的平面曲线

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发表于 2013-8-27 20:49:13 | 显示全部楼层
画出上面的参数方程的图(有意把$\theta$放大了范围),简直太有型了!

plot.png

受到启发,咱再把角度范围放大,终于得到全景图了:
plot2.png

点评

这应该比4楼的图线更准确。4楼的图线,所描点是递推迭代的,有误差积累,后面可能越来越不准。  发表于 2013-8-27 22:30
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-8-27 20:58:31 | 显示全部楼层
莫非这就是 双扭线 的姊妹精华篇吗

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“双螺线”命名确实有点受双扭线的影响。不过人家叫“双头螺线”,咱一不小心把人家的“头”给搞掉了,冏啊。  发表于 2013-8-27 21:54
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 楼主| 发表于 2013-8-27 22:12:48 | 显示全部楼层
但是“双头螺线”(Two-end Spiral)这个名字更容易让我想到下面的“双臂螺线”(真名叫做连锁螺线):


因为 end 容易理解为线头,有两个线头的螺线多了,但是有两个螺的调皮蛋就不多了。
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 楼主| 发表于 2013-8-27 23:30:10 | 显示全部楼层
将得到的  \(s=\sqrt{2\lambda\theta}\) 代入公式
\[\begin{cases}
\dif x=\cos\theta\cdot\dif s\\
\dif y=\sin\theta\cdot\dif s
\end{cases}\]
直接可得参数方程
\[\begin{cases}
\D\dif x=\cos\frac{s^2}{2\lambda}\cdot\dif s\\\\
\D\dif y=\sin\frac{s^2}{2\lambda}\cdot\dif s
\end{cases}\]
我在得到 $s=\sqrt{2\lambda\theta}$ 后因为已经可得到数值曲线,沾沾自喜,错过了。

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点评

老大永远都是那么英明神武阿!  发表于 2013-8-28 00:04
神了!我怎么就没想到用s当作参数呢!!!  发表于 2013-8-28 00:04

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wayne + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 精彩绝伦阿!

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发表于 2013-8-28 00:10:57 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2013-8-27 23:30
将得到的 代入公式


太简洁了,10#简直相形见拙阿
===
其实我推导的时候,最初是消元,想得到一个微分方程的。
谁知,导着导着就脱离了初衷,意外的走参数方程这条路了。

意外得解,沾沾自喜,却没回头重新审视我的杂乱的推导过程,以至于错过了这么好的一道风景阿,汗死了。

点评

暴力方法才是最能够体现一个人的实力的!  发表于 2014-6-30 21:36
10#硬给推导出来,还是蛮见功力嘀,我很佩服,那个p代换我都忘了。  发表于 2013-8-28 00:37
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发表于 2013-8-28 20:07:29 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2013-8-27 23:30
将得到的 代入公式


根据14#的参数方程,我们可以求出无穷收敛的两个羊角点的坐标。
  1. Integrate[cos(s^2/(2 \[Lambda])),{s,0,\[Infinity]},Assumptions->\[Lambda]>0]
复制代码
${\sqrt{\lambda*\pi}/2,\sqrt{\lambda*\pi}/2}$,${-\sqrt{\lambda*\pi}/2,-\sqrt{\lambda*\pi}/2}$
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发表于 2013-9-2 11:14:18 | 显示全部楼层
如果是三维立体的不知道会是怎样美丽的图形。
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发表于 2013-9-4 17:26:48 | 显示全部楼层
这个叫羊角螺线(clothoid)、科纽螺线 Cornu spirals或者欧拉螺线,和直射平行光在直边平面后的衍射相关,两个积分叫菲涅耳积分。

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相逢恨晚哪!  发表于 2013-9-4 19:35
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发表于 2013-9-8 10:28:49 | 显示全部楼层
关于 各种 代数曲线. 我曾经google到一本书, <A catalog of special plane curves>
并且 调用了一切资源,想下载到这本书.都没成功.
最后还是通过曲折的路径,由一位国外名校的朋友帮忙弄到的.
感兴趣的话,可以通过下面的百度网盘连接下载。
http://pan.baidu.com/share/link? ... th=%2Fpublic%2Fmath
双扭线的方程和性质也在这本书里面哦~~

书的目录:
    1 Chapter 1: Properties of Curves
        1.1 Coordinate Systems
        1.2 Angles
        1.3 Changes Between Coordinate Systems
        1.4 Changes Within Coordinate Systems
        1.5 Distances
        1.6 Curve
        1.7 Curvature
        1.8 Mensuration
        1.9 Geometry
    2 Chapter 2: Types of Derived Curves
    3 Chapter 3: Conics and Polynomials
    4 Chapter 4: Cubic Curves
    5 Chapter 5: Quartic Curves
    6 Chapter 6: Algebraic Curves of High Degree
    7 Chapter 7: Transcendental Curves


很是怀念大学的时候, 想当初提供免费下载盗版电子书的网站可真多,现在都物是人非了.

点评

嗯,经过政府的大力整顿,很多链接都失效了。不过,你可以使用 本论坛的百度云帐号登录 下载  发表于 2014-6-30 22:50
链接中的文件已坏?http://www.docin.com/p-412392551.html  发表于 2014-6-30 17:49
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发表于 2013-9-8 15:45:34 | 显示全部楼层
呵,我也推荐一个非常值得大家收藏下载的资料库:
http://iask.sina.com.cn/u/1783297201/ish?folderid=87595

点评

太丰富了!  发表于 2013-9-8 22:04
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