时滞微分方程

葡萄糖

\( f′(x)=f(x+1) \)

mathe

$sin'(x)=sin(x+pi/2)$

Lwins_G

解决线性微分方程问题最好的方法是采用广义Fourier变换。

我曾经出过一道需要使用类似技巧的题目：
http://bbs.emath.ac.cn/thread-4813-1-1.html

参看解答中引理2的证明：
http://lwins.us/file/%5BDec%2020 ... thly%20Solution.pdf

mathe

类似三楼，我们可以先找到一个满足$f'(x)=f(x+1)$的复变函数，然后取实部。
我们需要找$f(x)=f'(x-1)$,设$f(x)=exp(cx)$,于是$f'(x-1)=c*exp(-c)*exp(cx)$
所以也就是找复数c使得$c=exp(c)$,这个方程没有实数解，但是可以有无穷个复数根,对应Mathematica就是$c=-W(-1)$

mathe

上面$-W(-1)$有可列个解，每个对应一个复平面上的解析解，其在实轴上函数的实部和虚部都是本题在实数上的解。有个问题是是否本题在实数范围的解必然可以写成这些函数的线性组合形式

wayne

c应该是-ProductLog[k, -1]吧。然后k取所有整数,算得c：

1. m=10;Column[{#, N[-ProductLog[#, -1], 10]} & /@ Range[-m, m]]

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1. {-10,4.06374170+58.04957343 I}
   
2. {-9,3.94952274+51.76012200 I}
   
3. {-8,3.82055431+45.46926540 I}
   
4. {-7,3.67245007+39.17644002 I}
   
5. {-6,3.49851521+32.88072148 I}
   
6. {-5,3.28776861+26.58047150 I}
   
7. {-4,3.02023971+20.27245764 I}
   
8. {-3,2.65319197+13.94920833 I}
   
9. {-2,2.062277730+7.588631178 I}
   
10. {-1,0.3181315052+1.3372357014 I}
    
11. {0,0.3181315052-1.3372357014 I}
    
12. {1,2.062277730-7.588631178 I}
    
13. {2,2.65319197-13.94920833 I}
    
14. {3,3.02023971-20.27245764 I}
    
15. {4,3.28776861-26.58047150 I}
    
16. {5,3.49851521-32.88072148 I}
    
17. {6,3.67245007-39.17644002 I}
    
18. {7,3.82055431-45.46926540 I}
    
19. {8,3.94952274-51.76012200 I}
    
20. {9,4.06374170-58.04957343 I}
    
21. {10,4.16624245-64.33798412 I}

复制代码

wayne

我们可以直接对式子两边积分.得到:

$f(s)-f(a) =\int_a^tf(s+1)ds  =  \int_{a-1}^{a}f(s)ds  + \int_{a}^{s-1}f(s)ds $
从这个表达来看, 初始条件不能像微分方程那么简单.
仅仅给出初始值f(a)是不够的. 应该给出某段区间的方程

wayne

由于该微分方程本质上是函数方程，具有任意性，递推性。我们可以很随意的构造出任意形式的实数范围的解:

针对楼主给的方程，$f'(x) =f(x+1)$,   假设$x\ge a$, 我们得到了$f(x)$的表达式为$\phi (x)$, 即$ f(x)\equiv \phi (x).$
那么 ，我们可以递推求出$ x\leq a$区间的所有表达式，不过需要分段讨论:
为了更直观的揭示 继续递推的规律, 将区间$[a-n,a-(n-1)]$内$f(x)$的方程标记为$\phi_{n}(x)$,那么 ，

在区间$ [a,+\infty]$内，方程 $f(x)$的表达式为$\phi_0(x); $
在区间 $[a-1,a]$内，方程$f(x)$的表达式为$ \phi_1(x) = \phi_1(a-1)+\int_{a}^{x+1}\phi_0(t)dt ; $
在区间$[a-2,a-1]$内，方程 $f(x)$的表达式为$\phi_2(x) =\phi_{2}(a-2)+\int_{a-1}^{x+1}\phi_1(t)dt ;$
在区间$[a-n,a-(n-1)]$内，方程$ f(x)$的表达式为 $\phi_{n}(x) =\phi_{n}(a-n)+\int_{a-(n-1)}^{x+1}\phi_{n-1}(t)dt;$