求一个轨迹

葡萄糖

点D为抛物线上的一个动点，以点D为直角张角为90°的弦EF恒过点P，动点P关于点D的轨迹.

zuijianqiugen

参见《抛物线的直角弦定理  》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201421941523549/

葡萄糖

zuijianqiugen 发表于 2014-3-19 16:45
参见《抛物线的直角弦定理  》
http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/126524062201421941523549 ...

用这个定理问题都解决了！

zuijianqiugen

葡萄糖 发表于 2014-4-18 19:48
用这个定理问题都解决了！

见识了一个新定理。

zuijianqiugen

葡萄糖 发表于 2014-4-18 19:48
用这个定理问题都解决了！

见识了一个新定理。

mathe

线束中直角关系的直线就是对合关系，所以有定点X

数学星空

我今天看到单壿编写的《我怎样解题》P121 给出了巧妙的解析几何证明,特摘抄下来供大家品读：

设\(P\)点为原点，且过P点的椭圆为 \(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0\)    （1），其中\(a,b,c,d,e\)为已知常数

又设\(AB\)直线方程为： \(mx+ny=1\), \(m,n\)可以任意选择

此时\(PA,PB\)的方程可设为：\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=0\)   （2）  注：这一步是解题的精髓所在

由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),从而将上面 （2）展开写成：

\(（a+2dm）x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=0\)   (3)

由韦达定理知：斜率的乘积为\(-1\) 即 \(（a+2dm）+(c+2en)=0\)    （4）

可写成\( 2dm+2en+(a+c)=0\) ,由此可见（1）通过定点\(X\)的坐标为：\(（-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c}）\)  (5)

即定点只与\(a,b,c,d,e\)相关

另外：方程（1）表示的椭圆在点\((x_1,y_1)\)处的切线为：

\(ax_1x+b(x_1y+xy_1)+cyy_1+d(x_1+x)+e(y+y_1)=0\)   (6)

所以在点P(0,0)处的切线为：\(dx+ey=0\)    (7)

显然（5）适合法线方程\(ex-dy=0\),即法线通过点\(X\)

注：（2）适用一切圆锥曲线，不仅是椭圆

数学星空

由于楼上原文写的比较简洁，我特注解一下便于大家理解：

1。又设\(AB\)直线方程为： \(mx+ny=1\), \(m,n\)可以任意选择

此时\(PA,PB\)的方程可设为：\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=0\)   （2）  注：这一步是解题的精髓所在

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注：由于  \(mx+ny=1\),则  \(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)\*1=0\)，且\( ax^2+2bxy+cy^2＝0\) 也过原点

即（2）可表示直线 \(mx+ny=1\)与 椭圆 \(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0\)相交 的曲线簇。

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2. 由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),从而将上面 （2）展开写成：

\((a+2dm）x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=0\)   (3)

由韦达定理知：斜率的乘积为\(-1\) 即 \(（a+2dm）+(c+2en)=0\)    （4）

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注：由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),

可设\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=a_1(y+kx)(y-\frac{x}{k})\)

\((a+2dm）x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=a_1y^2+a_1(k-\frac{1}{k})xy-a_1y^2\)

对于\(x^2,y^2\)系数项即得到：\(a_1=a+2dm, -a_1=c+2en\) ,即 \((a+2dm）+(c+2en)=0\)

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3.  可写成\( 2dm+2en+(a+c)=0\) ,由此可见（1）通过定点\(X\)的坐标为：\(（-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c}）\)  (5)

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注： \(2dm+2en+(a+c)=0\)可变形为\(m\*(-\frac{2d}{a+c})+n\*(-\frac{2e}{a+c})=1\),与直线方程  \(m\*x+n\*y=1\)

比较\(m,n\)系数即可得到定点坐标\((x,y）=(-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c}）\)

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