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[讨论] 求一个轨迹

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发表于 2014-3-15 17:12:45 | 显示全部楼层 |阅读模式

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点D为抛物线上的一个动点,以点D为直角张角为90°的弦EF恒过点P,动点P关于点D的轨迹.
搜狗截图20140315170201.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-3-19 16:45:20 | 显示全部楼层
参见《抛物线的直角弦定理  》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201421941523549/
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 楼主| 发表于 2014-4-18 19:48:04 | 显示全部楼层
zuijianqiugen 发表于 2014-3-19 16:45
参见《抛物线的直角弦定理  》
http://zuijianqiugen.blog.163.com/blog/static/126524062201421941523549 ...

用这个定理问题都解决了!
搜狗截图20140418194552.png 搜狗截图20140418194622.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2014-4-19 16:45:27 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2014-4-18 19:48
用这个定理问题都解决了!

见识了一个新定理。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-4-19 16:45:27 | 显示全部楼层
葡萄糖 发表于 2014-4-18 19:48
用这个定理问题都解决了!

见识了一个新定理。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-4-20 11:18:25 | 显示全部楼层
线束中直角关系的直线就是对合关系,所以有定点X
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发表于 2014-5-7 21:08:38 | 显示全部楼层
我今天看到单壿编写的《我怎样解题》P121 给出了巧妙的解析几何证明,特摘抄下来供大家品读:

设\(P\)点为原点,且过P点的椭圆为 \(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0\)    (1),其中\(a,b,c,d,e\)为已知常数

又设\(AB\)直线方程为: \(mx+ny=1\), \(m,n\)可以任意选择

此时\(PA,PB\)的方程可设为:\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=0\)   (2)  注:这一步是解题的精髓所在

由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),从而将上面 (2)展开写成:

\((a+2dm)x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=0\)   (3)

由韦达定理知:斜率的乘积为\(-1\) 即 \((a+2dm)+(c+2en)=0\)    (4)

可写成\( 2dm+2en+(a+c)=0\) ,由此可见(1)通过定点\(X\)的坐标为:\((-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c})\)  (5)

即定点只与\(a,b,c,d,e\)相关

另外:方程(1)表示的椭圆在点\((x_1,y_1)\)处的切线为:

\(ax_1x+b(x_1y+xy_1)+cyy_1+d(x_1+x)+e(y+y_1)=0\)   (6)

所以在点P(0,0)处的切线为:\(dx+ey=0\)    (7)

显然(5)适合法线方程\(ex-dy=0\),即法线通过点\(X\)

注:(2)适用一切圆锥曲线,不仅是椭圆


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发表于 2014-5-10 12:20:51 | 显示全部楼层
由于楼上原文写的比较简洁,我特注解一下便于大家理解:

1。又设\(AB\)直线方程为: \(mx+ny=1\), \(m,n\)可以任意选择

此时\(PA,PB\)的方程可设为:\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=0\)   (2)  注:这一步是解题的精髓所在

----------------------------------------------------
注:由于  \(mx+ny=1\),则  \(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)\*1=0\),且\( ax^2+2bxy+cy^2=0\) 也过原点

即(2)可表示直线 \(mx+ny=1\)与 椭圆 \(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=0\)相交 的曲线簇。

===================================================


2. 由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),从而将上面 (2)展开写成:

\((a+2dm)x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=0\)   (3)

由韦达定理知:斜率的乘积为\(-1\) 即 \((a+2dm)+(c+2en)=0\)    (4)

----------------------------------------------------------------------------------------------

注:由于\(PA \perp PB\),即它们的斜率的乘积为\(-1\),

可设\(ax^2+2bxy+cy^2+(2dx+2ey)(mx+ny)=a_1(y+kx)(y-\frac{x}{k})\)

\((a+2dm)x^2+2(b+dn+me)xy+(c+2en)y^2=a_1y^2+a_1(k-\frac{1}{k})xy-a_1y^2\)

对于\(x^2,y^2\)系数项即得到:\(a_1=a+2dm, -a_1=c+2en\) ,即 \((a+2dm)+(c+2en)=0\)

===================================



3.  可写成\( 2dm+2en+(a+c)=0\) ,由此可见(1)通过定点\(X\)的坐标为:\((-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c})\)  (5)

----------------------------------------------

注: \(2dm+2en+(a+c)=0\)可变形为\(m\*(-\frac{2d}{a+c})+n\*(-\frac{2e}{a+c})=1\),与直线方程  \(m\*x+n\*y=1\)

比较\(m,n\)系数即可得到定点坐标\((x,y)=(-\frac{2d}{a+c},-\frac{2e}{a+c})\)

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