素数倒数的交错级数收敛吗？1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......

cn8888

1/2-1/3+1/5-1/7+1/11-1/13......
所有的素数的倒数交错级数（正负相间），
求和，请问收敛吗？

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. li=Table[Prime[k], {k, 1, 100000}];
   
3. zf=-1;sum=0;Do[zf=-zf;sum=sum+zf/li[[k]],{k,1,50}];Print[N[sum,10]];
   
4. zf=-1;sum=0;Do[zf=-zf;sum=sum+zf/li[[k]],{k,1,500}];Print[N[sum,10]];
   
5. zf=-1;sum=0;Do[zf=-zf;sum=sum+zf/li[[k]],{k,1,5000}];Print[N[sum,10]];
   
6. zf=-1;sum=0;Do[zf=-zf;sum=sum+zf/li[[k]],{k,1,8000}];Print[N[sum,10]];
   
7. zf=-1;sum=0;Do[zf=-zf;sum=sum+zf/li[[k]],{k,1,100000}];Print[N[sum,10]];
   

复制代码

看代码运行结果，感觉是收敛的

cn8888

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)li =
Table[Prime[k], {k, 1, 100000}];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[[k]], {k, 1, 50}]; Print[N[sum, 10]];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[[k]], {k, 1, 500}]; Print[N[sum, 10]];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[[k]], {k, 1, 5000}]; Print[N[sum, 10]];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[[k]], {k, 1, 8000}]; Print[N[sum, 10]];
zf = -1; sum = 0; Do[zf = -zf;
sum = sum + zf/li[[k]], {k, 1, 100000}]; Print[N[sum, 10]];


0.2674393196

0.2694645459

0.2695961048

0.2696001659

0.2696059662

cn8888

         Decimal expansion of sum of alternating series of reciprocals of primes
http://oeis.org/A078437
http://math.stackexchange.com/qu ... ed-on-prime-numbers

mathe

收敛是显然的，所有交叉递减数列，如果单项极限为0，必然收敛

wayne

课本里的东西，这个叫莱布尼兹深敛法则。

另外，其值必然小于log(2)

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多说一句，cn8888的Mathematica代码简直不忍直视。

cn8888

mathe 发表于 2014-5-4 16:09
收敛是显然的，所有交叉递减数列，如果单项极限为0，必然收敛

好像高等数学有这么一个规定,
不过已经好久不接触了******
罪过呀

cn8888

wayne 发表于 2014-5-4 16:31
课本里的东西，这个叫莱布尼兹深敛法则。

另外，其值必然小于log(2)

为什么必然小于log(2)?
是1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6......?
我的代码很简单的.为了比较,所以好几行写在一行.
你的代码我不敢直视,因为嵌套太多.太复杂了

cn8888

忙了,不和你说了

liangbch

这个数列的和是收敛的，其极限是0.2696063519，请参阅https://oeis.org/A078437。另外，关于前n项的和的分子和分母请参阅https://oeis.org/A024530和https://oeis.org/A002110