高考题目，有点困难

mathe

如果已知$1/a+1/b=\sqrt(ab)$求$3a+2b$的最小值，结果挺复杂
我们变换已知条件为$(a+b)^2=(ab)^3$,根据拉氏乘数法得出存在u使得
$3-2u(a+b)+3ua^2b^3=0,2-2u(a+b)+3ua^3b^2=0$,消去u得出
$2(3a^2b^3-2(a+b))=3(3a^3b^2-2(a+b))$，联合前面条件化简得出
$6b^2-ab-9a^2=0$,于是$b/a=h={1+\sqrt(217)}/12$
于是$(1+h)^2a^2=h^3a^6$,于是$a=\sqrt(1+h)*h^{- 3/4},b=\sqrt(1+h)*h^{1/4}$
$min{3a+2b}=\sqrt(1+h)*(3h^{-3/4}+2h^{1/4})=6.9754...$

wayne

如果已知$1/a+1/b=\sqrt(ab)$求$3a+2b$的最小值

这个是非齐次的，所以不大可能用初高中的常规方法解决。
可以设$a=ub$,则$ b^4={(u+1)^2}/{u^3}$,目标式子就变成了单变量函数 $(3a+2b)^4 = (3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$
所以\[3a+2b \ge \sqrt[4]{\frac{31966}{27}+\frac{2170 \sqrt{217}}{27}}=6.975716062...\]

我在好奇 mathe在楼上给的最后一个有效数字为啥不太对，该不会是手算的吧，

northwolves

原题第2问是$3a+2b=6$有没有解？为什么？

northwolves

wayne 发表于 2014-6-8 20:35
这个是非齐次的，所以不大可能用初高中的常规方法解决。
可以设$a=ub$,则$ b^4={(u+1)^2}/{u^3}$,目标式 ...

$(3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$

这一步怎么得来的？

wayne

northwolves 发表于 2014-6-11 20:04
$(3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$

这一步怎么得来的？

令$f(u) =(3 u + 2)^4 (u + 1)^2/u^3,u>0$, 那么$f(u)$的极值点满足条件 \(f'(u)=0\).

解得 u>0，只有一个极值点，$u= \frac{1}{18} (\sqrt{217}-1)$, 代入 验证一下得知 \( f''(u)>0\),所以是最小值。。。

cn8888

Minimize[{3 a + 2*b, 1/a + 1/b == Sqrt[a*b]}, {a, b}]
得到
{Root[-2048 - 575388 #1^4 + 243 #1^8 &,
  2], {a ->
   1/3 (-2 Root[-36 - 1507 #1^4 + 216 #1^8 &, 2] +
      Root[-2048 - 575388 #1^4 + 243 #1^8 &, 2]),
  b -> Root[-36 - 1507 #1^4 + 216 #1^8 &, 2]}}
N[%]
{6.97572, {a -> 1.24083, b -> 1.62661}}
能用程序搞定的就没必要用手搞定了,我很懒的

chyanog

菁优网的解答：
http://www.jyeoo.com/math2/ques/ ... 9-8cc7-b10368af1cb9