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楼主: northwolves

[讨论] 高考题目,有点困难

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 楼主| 发表于 2014-6-11 20:04:33 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-6-8 20:35
这个是非齐次的,所以不大可能用初高中的常规方法解决。
可以设$a=ub$,则$ b^4={(u+1)^2}/{u^3}$,目标式 ...

$(3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$

这一步怎么得来的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-6-11 21:04:48 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2014-6-11 20:04
$(3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$

这一步怎么得来的?


令$f(u) =(3 u + 2)^4 (u + 1)^2/u^3,u>0$, 那么$f(u)$的极值点满足条件 \(f'(u)=0\).

解得 u>0,只有一个极值点,$u= \frac{1}{18} (\sqrt{217}-1)$, 代入 验证一下得知 \( f''(u)>0\),所以是最小值。。。
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发表于 2014-6-12 14:53:23 | 显示全部楼层
Minimize[{3 a + 2*b, 1/a + 1/b == Sqrt[a*b]}, {a, b}]
得到
{Root[-2048 - 575388 #1^4 + 243 #1^8 &,
  2], {a ->
   1/3 (-2 Root[-36 - 1507 #1^4 + 216 #1^8 &, 2] +
      Root[-2048 - 575388 #1^4 + 243 #1^8 &, 2]),
  b -> Root[-36 - 1507 #1^4 + 216 #1^8 &, 2]}}
N[%]
{6.97572, {a -> 1.24083, b -> 1.62661}}
能用程序搞定的就没必要用手搞定了,我很懒的

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发表于 2014-6-15 10:01:20 | 显示全部楼层

点评

给出下界的话,3a+2b>-1也满足啊,那这就无法充分说明2a+2b>6  发表于 2014-6-16 11:10
从函数角度算出3a+2b最小值是6.975716062...,而不等式却给出3a+2b≥4sqrt(2)=6.928... 不管怎么说,这个等号是无法取到的,并且后面这个式子说明3a+2b可以取到6.928~6.975之间的值的,这不可能。  发表于 2014-6-16 11:08
应该没问题吧。第二问只是在给出下界,而不是下确界。该做法只是说明下界都比6还大,所以就不存在  发表于 2014-6-16 08:18
第二问的做法是错的。因为取等号的时候要求要求3a=2b,且a=b,显然不可能。  发表于 2014-6-15 11:23
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