一道有意思的题目

northwolves · 发表于 2008-1-14 13:49:12

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数列An满足条件：1<=An<=pi(pi=3.14159265....) 求（A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An)的最值

northwolves · 发表于 2008-1-14 13:49:54

最小值n*n,求最大值即可。

mathe · 发表于 2008-1-14 15:15:27

最大值在一半取1一半取pi的时候取到我们首先将（A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An) 看成A1的函数上面函数可以写成 (A1+a)(1/A1+b)＝1+ab+bA1+a/A1 (A1>0,a>0,b>0) 上面函数只可能在边界取最大值所以对于整个函数，必须所有的Ai都取边界值才可能取到最大假设u个取1，v=n-u个取pi 所以 max(（A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An)) =(u+v*pi)(u+v/pi) =u^2+v^2+uv(pi+1/pi) =(u+v)^2+uv(pi+1/pi-2) =n^2+uv(pi+1/pi-2) 其中 uv在它们两最接近的时候取到最大值（n为偶数那么u=v=n/2,n为奇数那么两种取法）结果是 n^2+[n^2/4]*(pi+1/pi-2)

northwolves · 发表于 2008-1-14 16:09:51

mathe版主真高人也。当年我写了满满一页才解出来，不献丑了

mathe · 发表于 2008-1-14 21:23:20

其实我刚开始考虑问题借用了数学分析，只是想通了以后就可以简化了。

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