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[原创] 一道有意思的题目

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发表于 2008-1-14 13:49:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数列An满足条件:1<=An<=pi(pi=3.14159265....)
求(A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An)的最值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-1-14 13:49:54 | 显示全部楼层
最小值n*n,求最大值即可。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-1-14 15:15:27 | 显示全部楼层
最大值在一半取1一半取pi的时候取到
我们首先将
(A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An)
看成A1的函数
上面函数可以写成
(A1+a)(1/A1+b)=1+ab+bA1+a/A1
(A1>0,a>0,b>0)
上面函数只可能在边界取最大值
所以对于整个函数,必须所有的Ai都取边界值才可能取到最大
假设u个取1,v=n-u个取pi
所以
max((A1+A2+...+An)*(1/A1+1/A2+...+1/An))
=(u+v*pi)(u+v/pi)
=u^2+v^2+uv(pi+1/pi)
=(u+v)^2+uv(pi+1/pi-2)
=n^2+uv(pi+1/pi-2)
其中
uv在它们两最接近的时候取到最大值(n为偶数那么u=v=n/2,n为奇数那么两种取法)
结果是
n^2+[n^2/4]*(pi+1/pi-2)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-1-14 16:09:51 | 显示全部楼层
mathe版主真高人也。当年我写了满满一页才解出来,不献丑了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-1-14 21:23:20 | 显示全部楼层
其实我刚开始考虑问题借用了数学分析,只是想通了以后就可以简化了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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