J(y) = \int_0^1 {(|y(x)| + |y'(x)| - |y(0)|)dx}

dianyancao

求如下泛函的最大值和最小值
其中\(y'(x)\)连续\[J(y) = \int_0^1 {\left(\abs{y(x)}+ \abs{y'(x)}- \abs{y(0)}\right)\dif x} \]

282842712474

没有最大值和最小值。

282842712474

考虑$y(x)=ax^2$，代入进去，显然$a$趋于正无穷时，积分也趋于正无穷，所以显然没有最大值。
最小值也没有，考虑$y(x)=-ax^2+a$即可，当$a$趋于正无穷时，积分趋于负无穷。

mathe

\[\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\},\int_0^1|y(x)|dx\geq\min\{|y|\}\],所以结果\[\geq\max\{|y|\}-y(0)\geq0\]

dianyancao

@mathe谢谢啊， 第一个式子好简洁呀
\[
\forall a,b\in[0,1] \implies \int_0^1\abs{y'(x)}\dif x \geq\abs{\int_a^by'(x)\dif x} =\abs{y(b)-y(a)}\geq\abs{y(b)}-\abs{y(a)}
\]
取最大的\(\abs{y(b)}\)为\(\max\{\abs{y}\}\),取最小的\(\abs{y(a)}\)为\(\min\{\abs{y}\}\)
那么有：
\[
\int_0^1|y'(x)|dx\geq\max\{|y|\}-\min\{|y|\}
\]