证明两个数论

倪举鹏

a,b,c,d都是正整数，如果a/b-b/c-c/a=3,那么a*b*c是立方数。（这个是我在什么地方看到的）
如果a/b/+c/d=b/c+d/a ,那么a*b*c*d是四次方数。（这个是我发现的）

此问题有没有普遍结论？

mathe

第一问经过计算可以转化为退化的椭圆曲线方程$y^2=(x-2)(x+1)^2$。于是可以求出通解（同构于$Q^2$的乘法子群）

mathe

设$y={8ac-4b^2-12bc}/{b^2},x=4(c/b+1)$,可以得到$y^2=x^2(x-3)$
同样给定有理点(x,y)可以容易算出$c/b$然后代入y表达式求出$a/b$
取$t=p+q\sqrt{-3}$,其中p,q为任意有理数而且$p^2+3q^2=1$，那么$x={-12t}/{(t-1)^2},y={-12\sqrt{-3}t(t+1)}/{(t-1)^3}$给出了通解
得出$c/b={x-4}/4,a/b={y+3x-8}/{2(x-4)}$
然后计算可以知道$x=({p+1}/q)^2+3,y={(p+1)x}/q$,于是得到$y+3x-8=({p+1}/q+1)^3$

mathe

$25/6+9/90=6/9+90/25 $; $25*6*9*90=2^2*3^5*5^3$